$T_1)$ $\emptyset$ ve $X$'in $\tau$'nun elemanı olduğunu gösterelim.
- $ {(\emptyset \in \tau)(\emptyset \subseteq X\setminus Y) \\[4pt] \tau_{(Y)}=\{\tau \cup A : (T \in \tau)(A \subseteq X\setminus Y) \} } \Bigg{\rbrace} \Rightarrow\emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \tau_{(Y)} $
- $T:=X \\[4pt] A\subseteq X \setminus Y \Rightarrow (T \in \tau)(A\subseteq X \setminus Y)\Rightarrow T\cup A=X \in \tau_{(Y)} $
$T_2)$ $M,N \in \tau_{(y)}$ olsun. Amacıız $M\cap N \in \tau_{(y)} $ olduğunu göstermek.
${M \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_1 \in \tau)(A_1 \subseteq X \setminus Y)(M=T_1 \cup A_1) \\ N \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_2 \in \tau)(A_2 \subseteq X \setminus Y)(N=T_1 \cup A_2) } \Bigg{\rbrace} \Rightarrow \\ \Rightarrow (T_1 \cap T_2 \in \tau) \Bigg(\Big( (T_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap T_2) \cup (A_1 \cap A_2) \Big) \subseteq X \setminus Y \Bigg) \\ \Rightarrow M \cap N \in \tau_{(Y)} $
$T_3)$ $\mathcal{A} \subseteq \tau $ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$ olduğunu göstermek.
$\mathcal{A} \subseteq \tau \Rightarrow ( \forall B \in \mathcal{A})(\exists T \in \tau) (\exists A \subseteq X \setminus Y)(B=T\cup A) $
$ \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} = \underset{B \in \mathcal{A}}{\bigcup} B= \underset{T \in \tau} {\underset{A \subseteq X \setminus Y}\bigcup} T\cup A = \Big( \underset{T \in \tau }{\bigcup}T \Big) \cup \Big( \underset{A \subseteq X \setminus Y }{\bigcup}A \Big) $
$ \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} \in \tau $