Sonsuz ağaçtaki herhangi bir bir $A$ köşesini alırsak bu da tek başına sıfır kenarlı ve bir köşeli bir ağaç olur.
Sonsuz ağacın herhangi bir kenarını ve bu kenarın $A, B$ gibi uç noktalarını alırsak $[AB]$ doğru parçasının kendisi de sonlu bir ağaç olmuş olur. Bu ağaç, iki köşe ve bir kenardan oluşuyor.
Sonlu alt ağaçlar bulmuş olduğumuz için mevcut soruya yanıt vermiş oluyoruz. Öte taraftan soruyu biraz daha geliştirerek sorabiliriz:
$ \color{red}{\text{Problem:}}$ Sayılabilir sonsuz sayıda köşesi olan her ağacın içinde köse sayısı $n$ pozitif tam sayısı olan bir ağaç vardır, ispatlayınız.
$ \color{red}{\text{İspat:}}$ Bir $G$ ağacının sayılabilir sonsuz sayıda köşesi olsun. Bu durumda $G$ ağacı içinde sonsuz uzunlukta bir yol vardır veya $G$ içinde derecesi sonsuz olan bir köşe vardır. Aksi durumda, hem $G$ ağacındaki tüm yollar sonlu uzunlukta hem de tüm köşeler sonlu dereceye sahip iken $G$ ağacı sonlu olurdu. İspatı bu iki alt durum içinde yapalım.
$ \color{red}{\text{(a)}}$ İlk olarak, $G$ ağacı içinde sonsuz uzunlukta bir $(v_0, v_1, v_2, v_3, \dots )$ yolu olduğunu varsayalım. Her $n$ pozitif tam sayısı için $(v_0, v_1, v_2, \dots, v_{n-1} )$ alt yolunu incelersek, uzunluğu $n-1$ olur. Bu alt yol da $n$ köşeli bir ağaçtır.
$ \color{red}{\text{(b)}}$ Şimdi de $G$ ağacı içinde derecesi sonsuz olan bir $v_0$ köşesi olduğunu varsayalım. $v_0$ köşesi $v_1, v_2, v_3, \dots $ köşeleri ile birleştirilmiş olsun. $(v_0, v_1, v_2, \dots, v_{n-1} )$ köşelerinden oluşan alt ağacı alalım. Bu alt ağacın köşe sayısı $n$ dir.
$ \color{blue}{\text{Not:}}$ Genelleştirdiğimiz probleme titiz bir ispat yapmaya çalıştım. Fakat yine de ispatta boşluklar varsa eğer yazabilirsiniz, beraber taştışıp öğrenmiş oluruz.