İğnenin rasgele atılmasının, orta noktasının kare içinde rasgele bir nokta olması ve iğnenin karenin bir kenarı ile yaptığı açının ($ 0 $ ile $ \pi $ arasında) rasgele bir sayı olması anlamında olduğunu (kabul edip) kullanacağız.
Karenin bir kenarını (işlemleri biraz basitleştirdiği için) $ 2 $ birim kabul edebiliriz.
Şekildeki gibi iğnenin karenin yatay kenarı ile yaptığı açıya $ \theta $ diyelim. Önce $ 0\leq\theta\leq{\pi\over2} $ durumunda olasılığı bulacağız. ${\pi\over2} \leq \theta\leq\pi $ durumunda da olasılık, simetri nedeniyle, aynı olacağından, burada bulduğumuz değeri $ 2 $ ile çarpacağız.
Yukarıdaki şekildeki gibi, bir açısı $\theta$, hipotenüsü $2$ olan dik üçgenleri çizelim. İğnenin orta noktası bu dik üçgenlerin içinde ise iğne mutlaka karenin bir kenarına değer.
(İğnenin yatay kenarlar ile yaptığı açı $ \theta $ olduğunda) Sadece, iğnenin orta noktası, kenarları $ 2-2\cos\theta $ ve $ 2-2\sin\theta $ olan (köşeleri, hipotenüslerin orta noktası olan sarı) dikdörtgenin içinde ise iğne kare içinde kalır.
Bunun olasılığı da (alanların oranı olan) $ \frac{(2-2\cos\theta) (2-2\sin\theta) }{4}=(1-\cos\theta) (1-\sin\theta) $ olur.
EK: Dr MG nin uyarısı (teşekkürler) üzerine düzeltme:
Açının, $[\theta,\theta+d\theta]$ aralığında olması olasılığı da $\frac{d\theta}\pi$ olduğundan:
$0\leq\theta\leq{\pi\over2}$ durumu için olasılık, $\int_{0}^{\pi\over2}(1-\cos\theta) (1-\sin\theta)\,\frac{d\theta}\pi=\frac{\pi-3}{2\pi} $ olur.
O zaman istenen olasılık:
\[2\int_{0}^{\pi\over2}(1-\cos\theta) (1-\sin\theta)\,\frac{d\theta}\pi=\frac{\pi-3}\pi\approx \%\,4,5\]
olur.