Sosyal medya hesabıma gelen ve içinden çıkılamadığı belirtilen bir soru şuydu:
$\color{red}{\text{Soru:}}$ $f: \mathbb R \to \mathbb R $, $f(x) = \left( -\dfrac{1}{3}\right)^{2x}$ üstel fonksiyon mudur? Alterne midir?
$\color{red}{\text{Cevap:}}$ $x=\dfrac{1}{4}$ için görüntüyü hesaplayalım. $f\left( \dfrac{1}{4} \right)= \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \not\in \mathbb R$ olduğundan bu şekilde verilen $f$ ifadesi bir fonksiyon değildir. Üstel fonksiyon hiç değildir.
Alterne kavramı, ardışık terimleri farklı işaretlere sahip olan diziler için kullanılır. Diziler ise; tanım kümesi doğal sayılar veya doğal sayıların bir alt kümesi olacak biçimde tanımlanan özel fonksiyonlardır. Genel terimi $a(n)$ olan bir dizide, dizinin değişkeni olan $n$'ye $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \sqrt{2}, \pi\, \dots $ vb değerler verilmez. $n$; $0, 1, 2, 3, \dots $ gibi doğal sayı değerlerini alabilir ve alterne (İng: alternating) yani dönüşümlü olup olmadığı sorulabilir. Tanım kümesi $\mathbb R $ olan bir fonksiyon için alterne olma kavramı anlamlı değildir. Çünkü, gerçel sayılarda ardışıklık kavramı yoktur. "$\dfrac{1}{2}$ den sonra gelen ilk gerçel sayı nedir?" ya da "$\pi$ den sonra gelen ilk (en küçük) gerçel sayı nedir?" gibi sorular anlamsızdır. Zira, böyle ilk (en küçük) sayıların olmadığını iyi biliyoruz. Çelişki yöntemiyle ispatlanabilir.
Sorulara cevap verdik. Bu noktada soruda kafa karıştırıcı noktanın ne olduğunu da düşündüm. Şu ek soruyu sorup yanıtlayalım.
$\color{red}{\text{Ek Soru:}}$ $g: \mathbb R \to \mathbb R $, $g(x) = \left[\left( -\dfrac{1}{3}\right)^{2}\right]^x$ üstel fonksiyon mudur?
$\color{red}{\text{Cevap:}}$ $g(x) = \left[\left( -\dfrac{1}{3}\right)^{2}\right]^x = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x}$ yazılabildiğinden $g$ üstel fonksiyondur.
Eğer $g$'de yapılan işlem, $f$'de de yapıldıysa, yanlış yapılmış olur. Şu teoreme bakalım:
$\color{red}{\text{Teorem:}}$ $a, b, c \in \mathbb R$ ve $a>0$ olmak üzere $(a^b)^c = (a^c)^b = a^{bc}$ dir.
Bu teorem, her $a$ geçel sayısı için yazılmış değildir. Teorem, $a>0$ iken bu eşitliklerin doğru olduğunu söylüyor. $a\leq 0$ için eşitlikler doğru olmayabilir. Hatta $(a^b)^c$, $(a^c)^b$, $a^{bc}$ ifadeleri tanımlı bile olmayabilir. Eğer bu teorem $f$ için de kullanılmaya çalışılırsa çelişkili durumlar oluşur.
$\color{blue}{\text{Not:}}$ Soru ile ilgili benim değerlendirmelerim bunlardır. Eklemek istediğiniz kısımlar varsa paylaşabilirsiniz.