Sorunun tam cümlesi, "$A$ ve $B$ kümelerinin birbirine denk olmasını sağlayacak bir denklik bağıntısı var mıdır?" şeklinde mi?
Eğer soru buysa, böyle bir bağıntı var diye düşünüyorum. Sadece $B$ kümesinin genişletilmiş gerçel sayılar verilmesi beni biraz tedirgin etti. Çünkü daha sonra $\mp \infty$ sayılarıyla (yoksa nesneleriyle/objeleriyle mi desem) işlem yapmam da gerekebilir. Bunun sonucunda yazacağım şey, henüz ben fark edemiyor olsam da kendi içinde tutarsız bir noktaya doğru evrilebilir. $B=(-\infty, + \infty)$ verilseydi bu tür bir kaygım olmayacaktı. Uyarılarımı yaptım, artık başlayayım:
$[-\infty, + \infty]$ üzerinde $\beta$ bağıntısını
$ A, B \subseteq [-\infty, + \infty] \iff (A,B) \in \beta $ olarak tanımlayalım. $\beta$ bağıntısı yansıma, simetri, geçişme özelliklerine sahiptir. Yani denklik bağıntısıdır. Böyle bir bağıntıda her küme birbirine denktir. Bu sebeple $A, B$ kümelerini ne seçersek seçelim $(A,B) \in \beta$ (veya farklı yazılışlarla $A \beta B $ veya $A\equiv B$) olur.
Neden böyle bir örnek düşündüm? Açıklayayım. Tam sayılarda çok büyük bir eleman ile çok küçük bir elemanı denkleştirmek istserem $\mod 1$ kullanırdım. Tüm tam sayılar birbirine denk olur ve sorun çözülür. Bu fikri kümelerde uyguladım.