Mertebeleri sonlu olan iki elemanın çarpımlarının mertebeleri de sonlu mudur?

Question

Kabaca soru şu şekilde: $G$ bir grup ve iki eleman seçiyoruz $x,y\in G$ öyle ki $|x|,|y|  <\infty $. O halde, $|xy|$ için ne söylebiliriz? ($|.| :  $mertebe)

Comments

Grupları değişik şekillerde belirtebiliriz. Mesela hangi şekillerin simetri grubu olduğunu söyleyerek ya da çarpım tablosunu vererek. Başka bir yöntem de "üreteçleri ve üreteçler arasındaki ilişkileri" vermek. Eğer "benim grubumun iki üreteci olsun, bu iki üretecin de derecesi 2 olsun, iki üreteç arasında hiçbir ilişki olmasın" dersen bu bir grup belirtir. Üreteçlerine x, y dersek $x^2=y^2=1$ ilişkilerinden başka ilişki olmayan bir grubumuz olur. Bu grubun elemanları da "x ve y ile yazılabilecek kelimeler" olur. Ama iki tane x ya da iki tane y yan yana geldiğinde onları siliyoruz.

Mesela xxxyxyyy kelimesi xyxy kelimesine denk.

Böyle bir durumda istediğin kadar xy'yi yan yana getir, 1 elde edemezsin. Çünkü x ve y arasında hiçbir ilişki koymadın.

Answer 1

$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ve $\begin{pmatrix}0 & 1/2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ mertebelerinin $2$ olmasına karşın çarpımları olan $$\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1/2\end{pmatrix}$$ matrisinin mertebesi sonsuzdur.

Değişmeli gruplarda $\text{lcm}(|x|,|y|)$'nin bir böleni olacaını söylemek kolay.

Answer 2

$a,b\in S_n$

$a=(12)(34)(56)(78)... $              ; $|a|=2$

$b=(23)(45)(67)...$                       ; $|b|=2$

ve $ab=(12468...)$