$H\times H$ kümesinin verilen işlemlere göre halka olduğunu gösteriniz.

Question

$H$ bir halka olsun. $H\times H$ kümesinin

$(x₁,y₁)+(x₂,y₂) = (x₁+x₂ , y₁+y₂) $ve

$(x₁,y₁).(x₂,y₂) = (x₁x₂ , x₁y₂+x₁y₁)$ işlemlerine göre halka olduğunu gösteriniz.

 

$H1$ aksiyomunun ispatından yana hiçbir sorunum yok. Yalnız $H2$ çarpım işleminin asosyatifliği ve $H3$ dağılma aksiyomlarını gösterirken sorun yaşıyorum. Asosyatifliği göstermek için:

$(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃)) = ((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃)$ eşitliğini göstermem gerektiğini düşünerek verilen işlemi uyguluyorum.

$(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃)) = (x₁,y₁).(x₂x₃ , x₂y₃+x₂y₂)$

$=(x₁x₂x₃, x₁(x₂y₃+x₂y₂) + x₁y₁) = (x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂y₂ + x₁y₁))$

sonucu elde ediliyor. Diğer taraftan sağ taraftaki işlemi verilen 2. işleme göre uyguladığımda;

$((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃) = (x₁x₂, x₁y₂ + x₁y₁).(x₃,y₃)$

$=(x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂(x₁y₂ + x₁y₁)) = (x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂y₂ + x₁x₂y₁)$

sonucunu elde ediyorum. İki ifadenin birinci bileşenleri eşit geliyor fakat ikinci bileşenlerin en sonundaki $x₁y₁$ ve $x₁x₂y₁$ ifadelerinin eşit olmadığı açıkça görülüyor. Bunun sebebini çözemiyorum nerede hata yaptığımı bulamıyorum yardımcı olabilir misiniz lütfen?

Comments

Çarpma tanımı

$(x_1,y_1).(x_2,y_2) = (x_1x_2 , x_1y_2+x_2y_1)$ şeklinde olabilir mi?

---

hayır maalesef tanım bu şekilde verilmiş hocaya da sordum böyle olduğunu söyledi o yüzden anlayamıyorum:(

---

Hocanız bir yazım hatası yapmış olabilir.
Kendisine bir daha sorsanız iyi olur.

---

Soracağım mutlaka çok teşekkür ediyorum iyi akşamlar

---

$H$ halkası ne olursa olsun bu işlemlerle $H \times H$ kümesi bir halka olamaz. Senin getirdiğin yerden şöyle bir karşı örnek bulabilirsin:

$r = (1,1), s=(0,1), t=(1,0)$ olsun. Bu durumda $(rs)t=(0,0)$ ve $r(st) = (0,1)$.

Bunu hocaya götürüp aha karşıörnek buldum diyebilirsin.

Doğan hocanın dediği şekilde olduğunda da asosyatif olduğunu gösterirsen, hoca için soruyu da düzeltmiş olursun.

---

Yazım hatası olduğunu onayladı bugün, sorun kalmadı neyse ki:) Çok teşekkür ediyorum bu da eklenebilir tabii en azından çabalarımın boşa çıkmaması adına:)