2x2 matris halkasının tersinirleri nedir?

Question

\[ H =  \{ \left( \begin{matrix} x & 0 \\ y & z \end{matrix} \right)  | x,y,z \in Z_6 \} \] halkasının tersinerleri nelerdir?

 

Halkalarda tersinirlik aksiyomu yoktur ve tersinirlik devreye girdiğinde tersinirler kümesi ele alınıyor. Matrisin çarpmaya göre tersinirlerini veren T(H) tersinirler kümesinin genel lineer grup ( GL(2,Z6) ) olduğunu biliyoruz. Bu durumda bize gereken xz çarpımının 0'a eşit olmadığı durumlar için

\[ \frac{1}{xz}  \left( \begin{matrix} z & 0 \\ -y & x \end{matrix} \right) \] ters elemanlarını birer birer bulmak mıdır? Z6 kümesi için sıfır bölen elemanları devreden çıkartsak dahi çok fazla xz ve y kombinasyonu olmuyor mu? Tersinirleri bulmak için izlediğim yol doğru mudur yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.

Comments

Halkalarda ikinci islem carpma, o yuzden $xz=6, xz=12$ olan durumlari cikartmak gerekli diye dusunuyorum tersinir olmasi icin?

---

evet fakat onlar çıkarıldığında dahi tersinir eleman olarak 96 farklı eleman elde ediliyor çünkü y için istediğimiz her değeri verebiliyoruz Z6'da. Bana soruda tersinirleri sorduğundan bu 96 elemanı teker teker yazmak çok uzun olacağından farklı bir yolla bu sayının düşeceğini düşünüyorum fakat gözden kaçırdığım nedir bilemedim..

---

$\det H.\det H^{-1}=xz$  ve   $\det H^{-1}=\dfrac{1}{\det H}$ olduğundan $xz=1$ olmalı diye düşünüyorum.

---

Alternatif bir düşünce: "tersinebilir olmak" ile "sütunlarının/kolonlarının lineer bağımsız olması" aynı şey.

---

$\left( \begin{array}{cc} 2&0\\ 0&2\\\end{array}\right)$, $\left( \begin{array}{cc} 3&0\\ 0&3\\\end{array}\right)$, $\left( \begin{array}{cc} 4&0\\ 0&4\\\end{array}\right)$ bu halkada tersinir midir? $xz\in\mathbb{Z}_6$ olacağı için $1/(xz)$ ne zaman tanımlı?

---

@aysevarlik,butun tersinir elemanlari listelemek yerine tersinir elmanlari kume olarak yazabilirsin.. Daha kolayi tersinir olamyanlari cikartmak, yukarda yazdigim gibi..

---

Bir matris tersinirdir ancak ve ancak determinati sifirdan farkli ise. Tersinir olmayan elemanlar

 

$\left\{\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 2 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 3 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 4 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 5 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 1 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 1 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 2 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 2 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 3 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 3 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 4 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 4 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 5 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 5 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 2 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 3 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 4 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 5 & 3 \\
\end{array}
\right)\right\}$

---

xz=1 koşulunun sağlanması gerekiyor alpercay'ın cevabındaki yorum işimizi kolaylaştırıyor teşekkürler yorumlarınız için

---

@alpercay evet bu sayıyı doğrudan 6'ya düşürüp tüm tersleri elde edebilmemi sağladı bu eşitlikten yararlanacağımı düşünmemiştim çok teşekkür ederim

---

Ben olsam soyle yazardim $H^{-1} =  \Big\{ \left( \begin{matrix} x & 0 \\ y & z \end{matrix} \right)  \Big| xz\neq0 \wedge\,x,y,z \in \mathbb{Z}_6 \Big \}$

Su kumedeki elemanlarin tersi vardir diyebiliriz cunku $\mathbb{Z}_6$ teki determinantlari sifirdan farkli.

 

$H^{-1}=\left\{\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 2 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 2 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 2 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 2 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 2 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 3 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 3 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 3 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 3 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 3 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 4 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 4 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 4 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 4 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 4 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 5 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 5 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 5 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 5 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 5 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 1 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 1 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 1 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 2 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 2 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 2 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 2 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 3 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 3 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 3 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 3 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 4 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 4 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 4 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 4 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 5 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 5 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 5 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 0 \\
 5 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 1 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 2 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 2 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 2 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 3 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 3 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 3 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 4 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 4 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 4 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 5 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 5 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 3 & 0 \\
 5 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 1 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 1 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 1 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 2 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 2 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 2 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 2 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 3 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 3 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 3 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 3 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 4 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 4 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 4 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 4 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 5 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 5 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 5 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 4 & 0 \\
 5 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 1 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 1 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 1 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 1 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 1 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 2 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 2 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 2 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 2 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 2 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 3 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 3 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 3 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 3 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 3 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 4 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 4 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 4 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 4 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 4 & 5 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 5 & 1 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 5 & 2 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 5 & 3 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 5 & 4 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{cc}
 5 & 0 \\
 5 & 5 \\
\end{array}
\right)\right\}$

---

@Okkes Dülgerci: o2'nin verdiği matrisler (birim matrisin bazı katları) tersinebilir mi oluyor bu durumda? Determinantları sıfırdan farklı.

Ya da birim matris tersinir olmuyor mu (listede yok)?

---

@alpercay $$\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 5\end{bmatrix}$$ tersinir.

---

@Okkes Dülgerci: listedeki ikinci matrisin, yani

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 &2\end{bmatrix}$$

matrisinin tersi ne?

---

Hem $x$ in, hem de $z$ nin tersinir olması gerekiyor (ve yeterli).

---

"Tersinir ne demek" sorusunu sorup, direkt tanımdan devam etmek çok daha hızlı bir şekilde ulaştırıyor cevaba.

---

Evet buna göre $x$  ve  $z$ birim olacağından ve $\mathbb{Z}_6$ daki birimler $-1$ ve $1$ olduğundan $xz=1$ ve $xz=-1$ olmalı.