Bütün gerçel sayıları taramalıyız. Bu işi tabii ki tek tek yapmayacağız. Fonksiyonun kuralını göz önünde bulundurarak fonksiyonun tanım kümesini belirli aralıklara ayırarak yapacağız.
- $x<-1$ durumunu inceleyelim.
$x<-1$ için $f(x)=x\cdot (-1)=-x$ olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(-\infty,-1)$ aralığında sürekli olduğunu görmek zor olmasa gerek.
- $x>1$ durumunu inceleyelim.
$x>1$ için $f(x)=x\cdot 0=0$ olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(1,\infty)$ aralığında da sürekli olduğu açık.
- Son olarak da $-1\leq x\leq 1$ durumunu inceleyelim.
@alpercay'ın da ifade ettiği gibi tamdeğer fonksiyonunun içerisini tamsayı yapan gerçel sayılara yani $n\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ olmak üzere $\frac1n$ gerçel sayılarına odaklanalım. Bunu da $n$ tamsayısının pozitif ve negatif olmasına göre iki durumda inceleyelim.
$f$ fonksiyonun tanım kümesi $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesinin türev kümesi (yani tüm yığılma noktalarının oluşturduğu küme) $D(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ olduğundan her noktada limitten bahsetmeye hakkımız var. O halde bu linkte yer alan teoremden faydalanabiliriz.
İlk olarak $n\in \mathbb{Z}^{>0} $ durumuna bakalım.
$\lim\limits_{x\to \frac1n^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to \frac1n^{-}}x\cdot\left\lfloor \dfrac1x\right\rfloor=1\neq \dfrac{n-1}{n}=\lim\limits_{x\to \frac1n^{+}}x\cdot\left\lfloor \dfrac1x\right\rfloor=\lim\limits_{x\to \frac1n^{+}}f(x)$ olduğundan $n\in \mathbb{Z}^{>0} $ için $f$ fonksiyonu $x=\frac1n$ noktalarında sürekli değildir.
İkinci olarak $n\in \mathbb{Z}^{<0} $ durumuna bakalım.
$\lim\limits_{x\to \frac1n^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to \frac1n^{-}}x\cdot\left\lfloor \dfrac1x\right\rfloor=1\neq \dfrac{n+1}{n}=\lim\limits_{x\to \frac1n^{+}}x\cdot\left\lfloor \dfrac1x\right\rfloor=\lim\limits_{x\to \frac1n^{+}}f(x)$ olduğundan $n\in \mathbb{Z}^{<0} $ için $f$ fonksiyonu $x=\frac1n$ noktalarında sürekli değildir.
Geriye sadece $n\in\mathbb{Z}^{>0}$ için $\left(\frac1{n+1},\frac1{n}\right)$ aralıkları ile $n\in\mathbb{Z}^{<0}$ için $\left(\frac1{n},\frac1{n-1}\right)$ aralıkları kaldı.
Şimdi $f$ fonksiyonunun $n\in \mathbb{Z}^{>0}$ için $\left(\frac1{n+1},\frac1{n}\right)$ aralıklarında sürekli olduğunu gösterelim. $n\in \mathbb{Z}^{<0}$ için $f$ fonksiyonunun $\left(\frac1{n},\frac1{n-1}\right)$ aralıklarında sürekli olduğu benzer şekilde gösterilebilir.
$n\in\mathbb{Z}^{>0}$ ve $a\in \left(\frac1{n+1},\frac1{n}\right)$ olsun. $n$ pozitif tamsayısını ve $a$ gerçel sayısını keyfi seçtiğimiz için $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olduğunu gösterirsek her $n\in\mathbb{Z}^{>0}$ için $f$ fonksiyonunun $\left(\frac1{n+1},\frac1{n}\right)$ aralıklarında sürekli olduğunu kanıtlamış oluruz.
$a\in \left(\frac1{n+1},\frac1{n}\right)$ olduğunda $f(a)=a\cdot\left\lfloor\dfrac{1}{a}\right\rfloor=a\cdot n$ olur.
Her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \frac{\epsilon}{n}$ seçilirse $|x-a|<\delta$ koşulunu sağlayan her $x\in\mathbb{R}$ için $$|f(x)-f(a)|=|n\cdot x-n\cdot a|=n\cdot |x-a|<n\cdot \delta\leq n\cdot \frac{\epsilon}{n}=\epsilon$$ olur. O halde $f$ fonksiyonu $a$ noktasında süreklidir.
$0$ hariç bütün gerçel sayıları taramış olduk. Fonksiyonun $0$ noktasında sürekli olduğunun gösterilmesini de ayrı bir soru olarak soralım.