Limit sorusunun çözümünde anlayamadığım bir nokta

Question

$\lim_{x\to 0+} e ^\frac{\ln \left( \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} \right)}{\tan x}=\lim_{x\to 0+} e ^\frac{ \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} -1}{x}$

Bir sorunun çözümünde böyle bir geçiş yapılmış  ama nasıl olduğunu anlayamadım. Sol taraftaki $tanx$ nereye gitti ve $-1$ nereden geldi acaba? Yardımcı olur musunuz?

Comments

$\lim\limits_{x\to0^+}{\tan x\over x}=1$ ve $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x}=1$ ve $\lim\limits_{x\to1}{\ln x\over x-1}=1$ (aslında $x\to0$ iken de aynı)
olduğunu gösterebiliyor musun?

---

L'Hospitalden gösterebilirim hocam.

---

Bu üçünü (değişken değiştirme de kullanarak) birleştirmeyi dene.

---

Hocam şimdi anladım. Limit durumunda    $\ln ( \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x})= \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} -1=0$ olduğundan soldakinin yerine sağdakini yazıyor. Payda da sıfırın çok yakınında $\tan x$  ve $x$  aynı davrandığından birinin yerine diğerini yazıyor. Teşekkür ediyorum.

---

Biraz daha dikkatli olmalısın. Limiti aynı olan şeyleri birbirinin yerine yazarsan bir sürü yanlış şeyler olur.

Örneğin bir  limitte, ($x\to0$ durumunda) $x$ yerine, aynı limite sahip olan, $x^2$ yazmanın ne kadar yanlış olduğunu tahmin edebilirsin.

Biraz daha kesin doğru şeyler kullanmalısın.

---

O zaman   $u=\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}$   dersek limit durumunda  $u=\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}\to1$ olduğundan   $\ln u\sim u-1$  ve

 

$\frac{u-1}x=\frac{\ln(1+\tan 4x)-4x}{4x^2}$   olur.

---

"limit durumunda" ve "$\ln u\sim u-1$" gibi şeyleri çok dikkatli kullanmalıyız.

Örneğin $x\to 0$ iken $x\sim x^2$ (yani limitleri eşit) ama $\lim_{x\to0} {\sin x\over x}\neq \lim_{x\to0} {\sin x^2\over x}$

Onun yerine (Düzelttim):

$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln\left(\frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x}\right)}{\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}-1}=1$ olduğunu
(Şunu kullanarak gösterebilirsin) kullanmalısın.

---

Bu soruyla ben de karşılaştım. Hocam son yazdığınız eşitlikte payda kısmında kesir çizgisinin sadece logaritmalı kısımda olması gerekmez mi?

---

Haklısın alpercay. Orada düzelttim.