Bir fonksiyonun sonsuzda Taylor serisini $n.$ elemenda kesersem fonksyonun asimptotunu elde eder miyim?

Question

Mesela $z=\frac{1}{x}$ desek, Uygun (her nedemekese ?) bir fonksyon $f(z)$ yi $0$ da taylor acalim ve ilk $n$ terimini tutalim.
Daha sonra $x=\frac{1}{z}$ degisimi yapinca elime $f$ fonksyonunun asimptotu gecer mi ?

Comments

$x=0$'da Taylor serisine açabilir miyiz?

Answer 1

Bu $n$.leri $f_n$ olarak tanımlayalım. $f-f_n$ limiti sıfırsa ve bir $m>n$ için $f_m$'nin baş katsayısı sıfır değilse $f-f_m=(f-f_n)-(f_m-f_n)$ limiti, baş katsayının işarete göre, $\pm\infty$ olur.

Daha genel olarak bir fonksiyona iki ayrı polinomun asimptot olamayacağı da benzer, Taylor serisi olsun ya da olmasın.

Comments

Hangi $f$'ler için bir $f_n$ asimptottur sorusunun cevabına da buradan varılabilir.