Sanirim linktede aynisini yapilmis. Fikrim suydu
$\mathbb{R}$ yi $\mathbb{Q}$ nun uzerine bir vektor uzayi gibi gormek. Her vektor uzayinin bir bazi vardir. Bu baza $A$ diyelim
Bu sayede
$x \in \mathbb{R}$ icin $\sum_{a \in A} \langle x,a \rangle a$
yazabiliriz
Yanilmiyorsam
$\langle x+y,a \rangle = $\langle y,a \rangle + $\langle y,a \rangle$
$\langle a,b \rangle = 0 $ Eger $a \neq b$ ve $a,b \in A$
yani $\langle x+b,a \rangle = \langle x,a \rangle $
yani $\langle \cdot,a \rangle$ fonksyonu periyodik
Birim fonksiyon iki periyodik fonksiyonun toplamidir.
$c,d \in A$ ve $c \neq d$ olsun
o zaman $x = \langle x,c \rangle c + \sum_{a \in A \setminus c} \langle x,a \rangle a $
$x^2$ 3 periyodik fonksiyonun toplamidir
$x^2 = \sum_{a,b \in A} \langle x,a \rangle \langle x,b \rangle a b $
$ C = \sum_{a,b \in A \setminus c} \langle x,a \rangle \langle x,b \rangle a b $
$ D = \langle x,c \rangle^2 c^2 \sum_{a,b \in A \setminus \{c,d\}} \langle x,a \rangle \langle x,c \rangle a c $
$E = 2 \langle x,c \rangle \langle x,d \rangle cd$
$C,D $ ve $E$ periyodik. ve $x^2$ bunlarin toplami olarak yazilabiliyor.
$n.$ dereceden Polinomlar $n+1$ periyodik fonksiyonun toplamidir.
$P(x)$ polinomunu su carpimlarin lineer kombinasyonu olarak yazabiliriz
$\langle x,a \rangle \langle x,b \rangle \cdots$ , ve $a,b,c \cdots \in A$
$a_0 \cdots a_n$ , $A$ dan gelen farkli $n+1$ elemean olsun. Su carpimlardan
$\langle x,a \rangle \langle x,b \rangle \cdots$
hicbiri butun $a_0 \cdots a_n$ i bulundaramaz. Terimleri $n+1$ toplam seklinde $P_0 \cdots P_n$ diye yazabiliriz ve hicbir $P_i $ de $a_i$ bulunmaz.
$P(x) = \sum_i P_i(x)$ ve butun $P_i$ lerin periyodu $a_i$