$ x\in [0,1] $ için $1-x\leq e^{-x}$ eşitsizliğinin ispatı

Question

klasik analizden her $ x\in [0,1] $   için  $1-x \leq e^{-x} $ eşitsizliği sağlandığı bilinmektedir. Bunun ispatı nasıl yapılıyor.

Comments

Sen bu soruda neler düşündün/denedin @Esra06?
Ortalama Değer Teoremini kullanmayı denedin mi?

---

Ortalama değer teoremini denedim ama ispat şeklinde olmadı. e üssü -x nasıl elde ediliyor.

---

Hangi fonksiyon için denedin?

---

Fikir vermesi açısından grafik çizmeyi de deneyebilirsin:

---

$f(x)=1-x$ fonksiyonu denedim ama ispat şeklinde olmadı sadece eşitliği buldum. $e^{-x}$nasıl elde edilecek ya da fonksiyonu ne almamız gerekiyor

---

Fonksiyonu $e^{-x}$, aralığı da (bir $a>0$ için) $[0,a]$ alarak dene.

---

Aralığı $ [0,x] $ alsak şöyle bir eşitlik çıkar $ -e^{-c} = \frac {e^{-x} -1 }{x} $  buradaki c ortalama değer teoreminin tanımındaki c dir. Bundan sonra ne yapmalıyım.

---

$e^{-c}$ hakkında ne biliyoruz (en az/en çok)?

---

ortalama değer teoremiden  $ c\in (0,x) $ olur. Burada düzenleme yaparsak $ e^{-x}< e^{-c}< 1 $ elde edilir. Bu eşitsizliği kullanarak düzenleme yaptım bu $ 1-x < e^{-x} $ eşitsizliği elde ettim. Küçük eşittir nasıl bulunacak

---

$a<b\Rightarrow a\leq b$ olmaz mı? (Gerekmez ama: $x=0 $ için de eşitlik olmuyor mu?)

---

tmm cevabınız için teşekkür ederim

---

İspatını, soruya cevap olarak yazarsan daha iyi olmaz mı?(sen de puan kazanırsın :-))

---

$e^x=1+x+x^2/2! +x^3/3!+\cdots$   ve  $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ seri açılımlarını terim terim karşılaştırarak da eşitsizliğin doğru olduğunu görebiliriz.

Answer 1

Biraz değişik bir şekilde gösterelim.

($\forall x\in\mathbb{R}$ için) $e^{-x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^n}{n!}$ ve serimiz her $x\in\mathbb{R}$ için yakınsakdır.

$x>0$ için serimiz İşaret Değişimli (Alterne/Alternatif) bir seridir. Her $0< x\leq1$ için eşitsizliğin doğruluğunu göstereceğiz (aslında $\forall x\in\mathbb{R}$ için geçerli).

Bunu göstermek için İşaret Değişimli Seri Teoreminin (çoğunu aşağıda tekrarlayacağımız) ispatına biraz dikkatli bakmak yeterli olacaktır.

İstenen eşitsizlikten daha genel olarak (işaret değişimli serilerin toplamı ile ilgili) şunu göstereceğiz:

(İşaret Değişimli Seri Teoremi:) $\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $p_n>0$, $p_{n+1}<p_n$ ve $\lim_{n\to\infty} p_n=0$ ise:
$\sum_{n=1}^\infty(-1)^np_n$ (ve $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}p_n$) yakınsaktır.

EK: Bu serinin toplamına $S$ dersek, $\forall n\in\mathbb{N}^+$ için, $S$, $s_n$ ile $s_{n+1}$ ($s_n=\sum_{k=1}^n(-1)^kp_k$: $n$. kısmi toplam) arasındadır.

İspatı, $\sum_{n=1}^\infty(-1)^np_n$ için yapalım diğeri bundan kolayca elde edilir ya da benzer şekilde gösterilebilir.

$s_{2n+2}=s_{2n}-(p_{2n+1}-p_{2n+2})$ ve  $p_{2n+1}-p_{2n+2}>0$ olduğu için, $(s_{2n})$ (alt) dizisi azalandır ve sınırlıdır (bu da kolayca gösterilir), bu nedenle, 

(Monoton Yakınsaklık Teoreminden) $S_1=\lim s_{2n}=\inf\{s_{2n}:n\in\mathbb{N}^+\}$ olur. Bu, bize, ($\forall n\in\mathbb{N}^+$ için) $S_1<s_{2n}$ olduğunu söyler.

$s_{2n+1}=s_{2n-1}+(p_{2n}-p_{2n+1})$ ve  $p_{2n}-p_{2n+1}>0$ olduğu için, $(s_{2n-1})$ (alt) dizisi artandır ve sınırlıdır (bu da kolayca gösterilir), bu nedenle, 

(Monoton Yakınsaklık Teoreminden) $S_2=\lim s_{2n-1}=\sup\{s_{2n-1}:n\in\mathbb{N}^+\}$ olur. Bu, bize, ($\forall n\in\mathbb{N}^+$ için) $S_2>s_{2n-1}$ olduğunu söyler.

Ayrıca, $S=S_1=S_2$ olduğu da, $s_{2n}=s_{2n-1}+p_{2n}$ ve $\lim p_{2n}=0$ oluşundan görülür.

Bu ikisinden, (her $n,m\in\mathbb{N}^+$ için) $s_{2n-1}<S<s_{2m}$ ($(-1)^n$ yerine $(-1)^{n+1}$ varsa, benzer şekilde, $s_{2n}<S<s_{2m-1}$) olduğu görülür.

$0<x\leq1$ ise $p_n=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ için ($e^{-x}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ olup) yukarıdaki tüm koşullar sağlanıyor, öyleyse
$1-x=s_2<e^{-x}<1-x+\frac{x^2}2=s_3$

 

Answer 2

$f(x)=e^{-x} +x-1$  olsun.

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + ...$

$f(x)=\frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + ...$  olur.

$0 \leq x \leq 1$  için   $\frac{x^{n}}{n!} \geq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$  olacağından $$f(x)=e^{-x} +x-1\ge 0$$ bulunur.

Answer 3

Şöyle de olur:

$f(x)=e^{-x} +x-1$  olsun. Verilen aralıkta

$f'(x)=-e^{-x}+1\ge 0$   olduğundan fonksiyon artandır; dolayısıyla

$f(x)\ge f(0)=0$  olmalıdır.