Ben mutlak değeri uzaklık olarak görüp öyle tanımlamayı daha yararlı buluyorum. Yani biri bana $|x-y|$ nedir diye sorsa, hesaplama falan yapmadan ilk vereceğim cevap $x$ ile $y$ arasındaki uzaklık derim. Mesela $|3-5|=2$ çünkü $3$ ile $5$ arası uzaklık $2$.
(Dikkat edersen $|a|=|a-0|$. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlayınca $|a|$ sayısının $a$'nın $0$'a uzaklığı olduğunu rahatlıkla görüyoruz).
Şimdi: "Bana $3$'e uzaklığı $1$ olan sayıları söyleyebilir misin? derse biri bana, ben bunu yukarıdaki dile şöyle çevirebilirim: $|x-3|=1$ eşitliğini sağlayan sayılar nelerdir. Bu sadece küçük bir örnek.
Aynı şekilde "$3$'e uzaklığı en fazla $5$ olan sayılar nelerdir?" Sorusunu $|x-3|\leq5$ eşitsizliğini sağlayan sayılar nelerdir'e çevirebilirim. Bunlar gibi, iki dil arasında çeviri yapabileceğin başka durumlar da mevcut. Başka bir dil öğrenmek için pratik yapman gerekiyor tabii. O yüzden bu iki örnek gibi örnekleri kendin birkaç kez yap eğer ilk defa karşılaşıyorsan bunlarla.
Şimdi. Eğer ikinci örneğe geri dönecek olursak, bir reel sayı doğrusu çiz. $3$'e $5$ uzaklıkta olan iki sayı var $-2$ ve $8$. Ve $-2$ ile $8$ arasında kalan her sayı $3$'e daha da yakın. Başka deyişle $3$'e uzaklıkları $5$'ten küçük. Aynı şekilde bir sayı $-2$'den küçükse ya da $8$'den büyükse, $3$'e uzaklıkları $5$ birimden büyük. Bunu da "$|x-3|\leq 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $[-2,8]$ aralığıdır" diye çevirebiliriz.
Senin sorduğun soru bunun tam tersini yapmamızı istiyor bizden. Ama tersini anlamak için önce düzünü anlamak daha yararlı olabilir bazen. O yüzden yukarıdaki $|x-3|\leq 5$ eşitsizliğinde sayıları değiştirip 5-6 kere ya da iyice alışana kadar yaparım aynı soruyu ben olsam.
Şimdi $[-2,8]$ aralığını mutlak değerle yazalım. Öyle bir sayı istiyorum ki, atıyorum Ö sayısı, uç noktalar olan $-2$ ve $8$'e uzaklığı aynı olsun. Bu sayı $8$'den büyük olsa, yani sayı dogrusunda $8$'in sağında olsa, $8$'e $-2$'ye olduğundan daha yakın olur, olmaz. Aynı şekilde $-2$'nin solunda da olamaz. Demek ki arada bir yerde olacak. Uzaklığın iki uca da aynı olması için de TAM ortada olmamız gerekiyor. Başka bir deyişle $Ö$'nun $-2$ ve $8$'im ortalaması olması gerekiyor. Yani Ö = 3.
Şimdi aradığımız sayılar $3$'e uzaklığı $8$'in ve $-2$'nin $3$'e olan uzaklığından daha az olan sayılar. 8'in ve -2'nin 3'e olan uzaklığı 5 birim. Demek ki aradığımız sayılar 3'e uzaklığı en fazla 5 birim olan sayılar. Bunu da yeni öğrendiğimiz dile çevirince ne olacağını yukarıda gördük.