Ali Nesin Analiz1 Alıştırma 4.24

Question

$A\subseteq$ $\mathbb{R}$ sonlu bir küme olsun. $\forall n\in \mathbb{N}$ için $x_n \in A$ olsun. $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olması için dizinin zamanla sabitleşmesi gerektiğini kanıtlayınız.

Denemelerim

$A=\{a_1,a_2,\ldots,a,\ldots,a_k\}$

$\epsilon =\min\{|a_i-a|:i\in \{1,2,...,k\},a_i\ne a\}$

$n>N$ için $|x_n-a|<\epsilon$ olması için $x_n=a$  olmalıdır

Comments

Şu eşitsizliği de inceleyebilirsin:
$|x_n-a|<\epsilon/2$  ve $|x_m-a|<\epsilon/2$ ise $$|x_m-x_n|\le |x_m-a|+|a-x_n|<\epsilon$$ olur. 

Senin cevabında:
Çelişki yöntemi ile gittiğin belli olmuyor, gidiyor musun o da belli olmuyor. Yazıma söz eklenmediğinden olsa gerek. İyi yazılırsa (anlaşılır) cevap niteliği taşır.

---

A kümesindeki özel a sayısı nedir (Tahmin etmek güç değil ama bir sonraki soru için önemli)?

O özel sayının A kümesinde olduğunu nereden biliyoruz?

Öneri (a sayısının ne olduğunu belirttikten sonra):

$a\in A$ (bu durumda senin çözümün geçerli) ve $a\notin A$ durumlarını ayrı ayrı inceleyebilirsin.

Ya da (durumlara ayırmadan) her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu kullanabilirsin. (EK: Bu, Sercan ın önerisi ile aynı şey oluyor)

---

Ya da $B=A\cup\{a\}$ olarak tanımlarsak, B sonlu ve dizinin her elemanı B ye ait olur.

---

Cauchy dizileriyle  nasıl ispatlanır?

---

Sercan ın önerisine bakabilirsin.

---

a $\\x_n$ in yakınsadığı sayıdır. Her n$\in$$\mathbb{N}$ için $\\x_n$ $\in$A olduğundan a$\in$  A değil midir?

---

Yeterince büyük n ve m ler için $\\x_n$ ler $\\x_m$lere yakınsıyor. Fakat belirli bir göstergeçten sonra $\\x_n$=$\\x_m$ in her zaman sağlanacağını nasıl gösterebiliriz?

---

Sonlu olması ile gelecek bir özellik limitin, varsa, içinde olması.
Hatta sabit olarak gitmesi o sabite eşit olması demek.
Limit değeri içinde olacak çıkarımını ilk başta yapamayız.

Sonsuz bir küme alırsak, örneğin rasyonel sayılar kümesi.
Limiti istediğimiz gerçel sayı yapabiliriz.
Örneğin $\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac1n\right)^n=e$ gibi.
Limit varsa dizi ile elde ettiğimiz küme içerisinde olmak zorunda değil.

---

Diğer sorun için:
Benim üstte verdiğim eşitsilige bakarsan
bir yerden sonra sabit olmazsa her zaman iki farklı elemanı görmek gerekir.
epsilonu uzaklıkların minimumundan küçük seçerek çelişki elde edersin.
Bu da bir yerden sonra sabit olmasını gerektirir.

---

@GEO,

"$a,\ x_n$  in yakınsadığı sayıdır. Her $n\in\mathbb{N}$ için $x_n \in A $ olduğundan $a\in  A$ değil midir?"

Evet doğru, ama, bunu göstermek için sorudaki iddiayı ispatlamak gerekli ya da sorudan  daha ileri düzeyde  Analiz ("Terimleri kapalı bir kümeye ait olan yakınsak dizilerin limiti de o kümeye ait olur" ve "($\mathbb{R}$ de) Sonlu kümeler kapalıdır." gibi bazı teoremleri) kullanmak gerekli .

EK: Ben (daha basit) bir yol ($B=A\cup\{a\}$ al) da önerdim.