$\sqrt n$ rasyonel ise $n$ tam karedir.

Question

Gosteriniz: $n\in \mathbb N$ olsun. $\sqrt n$ rasyonel ise $\sqrt n$ tam sayidir, yani $n$ tam karedir.

Answer 1

$n\in\mathbb{N}$,    $a,b\in\mathbb{Z^+}$  ve $OBEB(a,b)=1$, $b\neq0$   olmak üzere $\sqrt n=\frac ab$ olsun. $n=\frac{a^2}{b^2}$ ve  $n$ bir doğal sayı olduğundan $b^2=1$ den $b=1$ olmalıdır. Yani $n=a^2$ olur. Bu da tamkare olduğunu ifade eder.

$x^2-ny^2=1$ den $n=\frac{x^2-1}{y^2}>0\rightarrow x^2-1>0\rightarrow x^2>1$ olacaktır.  Birden büyük bir tamkarenin bir eksiği hiçbir zaman tamkare olamayacağından dolayı $\sqrt{x^2-1}$ daima bir irrasyonel sayıdır .Yani 

$n=\frac{x^2-1}{y^2}$ den $\frac {\sqrt{x^2-1}}{y}=\sqrt n$  olan $\sqrt n$ daima irrasyoneldir.

Comments

ikincisi baska bir soruydu ama.. ilgili soru.. fazla cevaptan zarar gelmez.. Bir de $a>0$ ve $(a,b)=1$ kabul etmeliyiz ki $b=1$ olsun.