Question

$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ veriliyor.

Bu eşitliği kullanarak ve yarım açı formülü kullanmadan $$\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ} +\left(\frac{\sin20^\circ}{\sin80^\circ}\right) ^2$$ değeri bulunabilir mi?

Yarım açı kullanarak kolayca yapılıyor fakat kullanmadan yapamadım.

Answer 1

Çözümde geometri (benzerlik) kullanacağız ve verilen özdeşliğe ihtiyacımız olmayacak.

$<B=<C=80^{\circ}$ ve  $<A=20^{\circ}$ olan $ABC$ ikizkenar üçgenini düşünelim. $|AB|=|AC|=a, |BC|=b$ olsun. ve $AC$ kenarı üzerinde $|BC|=|BD|=b$  olacak şekilde bir $D$ noktası alarak  $20-80-80$ ikizkenar üçgenini oluşturalım. Sinüs teoreminden $$\frac{\sin 80}{\sin 20}=\frac{a}{b}$$ olarak yazılabileceğinden $\frac{a}{b}+\left(\frac{b}{a}\right)^2$ toplamını hesaplamamız isteniyor.

$BDC$  ve $ABC$ üçgenlerinin benzerliğinden  $|CD|=\frac{b^2}a{}$  ve  $|AD|=\frac{a^2-b^2}{a}$ bulunur.

$ABD$ üçgeninde kosinüs teoremi yazılarak $$\left(\frac{a^2-b^2}{a}\right)^2=a^2+b^2-2ab\cos60^{\circ}$$  eşitliği düzenlenerek $$\frac{a}{b}+\left(\frac{b}{a}\right)^2=3$$ bulunur.

Comments

Teşekkürler hocam.

Answer 2

Şöyle bir çözüm de var :

$ABC$ üçgeninde $A$ dan geçen yüksekliği çizersek $BC$ kenarını iki eşit parçaya böleceğinden $\sin10=\frac{b} {2a} $ olur.

$\sin3x=3\ sinx-4\sin^3x$ eşitliğinden $x=10^{\circ}$ yazılarak $$\frac{1} {2}=\frac{3b}{2a}-4.(\frac{b}{2a})^3 $$ elde edilir. Bu denklemden istenen sonuca ulaşılabilir.