Question

Her $x\geq 1$ için $2x^2-x>\ln(2x)$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$f(x)=2x^2-x-\ln(2x)$  fonksiyonunu alalim.

$f'(x)=0\implies4x-1-\frac1x=0\implies$
 

$ x=\dfrac{1}{8}(1-\sqrt{17})<0,\, x=\dfrac{1}{8}(1+\sqrt{17})$

$f(x)$ fonksiyonu $\left(\dfrac{1}{8}(1+\sqrt{17}),\infty\right)=\left(0.64...,\infty\right)$ araliginda artandir.

$f(1)=2-1-\ln(2)>0$ oldugundan, $x\ge1$ icin

 

$f(x)=2x^2-x-\ln(2x)>0$ olur.

 

Burdan $2x^2-x>\ln(2x)$ oldugu cikar.