Bolzano teoremini düşün. $f(x)=3^x+4^x+5^x-x^2$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonsiyonunu ele alalım.
$f(-1)<0,$ $f\left(-\frac{1}{2}\right)>0$ ve $f$ fonksiyonu $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ aralığında sürekli olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ aralığında bir gerçel kökü vardır.
Her $x\in (-\infty,-1)$ için $f(x)<0$ olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $(-\infty,-1)$ aralığında bir gerçel kökü yoktur.
Her $x\in \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$ için $f(x)>0$ olduğundan $3^x+4^x+5^x=x^2$ denkleminin $\left(-\frac{1}{2},\infty\right)$ aralığında da bir gerçel kökü yoktur.