Bir üçgende tabana çizilen kenar orta dikme diğer iki kenardan uzun olanı keser .İspatını bilen var mı?

Question

Bir üçgende tabana çizilen kenar orta dikme diğer iki kenardan uzun olanı keser.İspatı

Comments

Ali demirci sen birşeyler düşündün mü?

---

Kenar orta dikme uzun kenarı kesmezse veya ikisini birden keserse (ABC için CB taban ise A noktasından geçer)küçük açının karşısında büyük kenar olur çelişki oldu ispat bitti mi ?ikisini birden kesmesi uzun olanı kesmiş olduğu için gerekli mi?Doğru değilse AB kenarını uzun alırız ve kenar orta dikme kısa kenarı keserse  üçgen eşitsizliğinfen çelişki olur. A dan geçerse iki kenar ortak ve açılar eşit olacağından AB AC ye eşit olur çelişki oldu. ispat bitti mi?

---

Kenar orta dikme (kod) kısa kenarı keserse dediğin gibi küçük açı karşısında ($<B$ açısı) büyük kenar, büyük açı ($<C$ açısı) karşısında küçük kenar olacağından çelişki oluşur. Kod'un iki kenarı kesmesi demek $A$ köşesinden  geçmesi demektir ve bu durumda üçgen ikizkenar olur. Verilen önermede kenarlar birbirinden faklı kabül edildiğinden ikizkenarlık durumu zaten oluşmaz.

---

Tepe açısı aynı olan ve aynı kenarı gören üçgenler çemberin üzerindedir .Bu önermenin ispatında 3 noktası bilinen bir çember olduğundan dışında veya içinde olmadığını gösterdiğimizde çelişki ile ispat etmiş olduk yoksa durum inceleme yoluyla mı?çelişki ile ispat yalnızca iki durum olduğunda mı geçerli?

---

İkinci ispat doğru mu? Durum incelemesi ispat mı yoksa çelişki ile ispat mı yaptık ? Çelişki ile ispat sadece iki durum olduğunda mı geçerli ?Teşekkür ederim Alper hocam

---

Şöyle de düşünülebilir:
$ABC$ üçgeninde $a>b$ olsun.
$A$ veya $B$ dar açı değil ise zaten $AB$ nin herhangi bir noktasından çizilen dikme uzun kenarı keser.
$A$ ve $B$ dar açı ise, $C$ köşesinden inilen dikme (ayağına $H$ diyelim), $ABC$ üçgenini (dik köşesi $H$ de olan) iki dik üçgene böler. Bu dik üçgenlerin hipotenüs uzunlukları $a=|BC|$ ve $b=|AC|$, ortak dik kenar uzunlukları $|CH|=h_C$ dir, diğer dik kenarları $AB$ nin parçalarıdır ($AH$ ve $BH$). Pisagor bağıntısından, $|BH|>|AH|$ olur. Öyleyse $AB$ nin orta noktası $B$ ile $H$ arasındadır. Orta noktadan çizilen dikme $BC$ yi (uzun kenarı) keser.

---

Teşekkür ederim

---

Ali Demirci yorumlarda verilenleri cevap olarak paylaşabilir misin?

---

Hocam  bağlaclı olanı yazamıyorun

---

Önemli değil, buradan silip cevabın altına ekleriz.

Answer 1

$AB=c,AC=b$ ve $b\gt c$ olsun. Varsayalım ki kenar orta dikme (kod) $AB$ kısa kenarını  bir $D$ noktasında ve $AC$ kenarının uzantısını bir $T$ noktasında kessin. Orta dikmeden dolayı $BDC$  ve $BTC$  üçgenleri ikizkenar olur. $<DCB=<DBC=\alpha$, $<ACD=\theta$ ve $<ACB=\alpha+\theta.$ diyelim. $ABC$ üçgeninde $b\gt c$  olması $B\gt C$ olmasını gerektirir fakat varsayımdan $B=\alpha, C=\alpha+\theta$ olmalı. Çelişki. O zaman varsayımımız yanlış. Bu durumda kod ya $A$ noktasından geçecek(bu durumda üçgen ikizkenar olur) ya da uzun kenarı kesecektir. Verilen önermede kenarlar birbirinden faklı kabül edildiğinden ikizkenarlık durumu zaten oluşmaz. Öyleyse kod uzun kenarı kesmelidir.

Answer 2

(Doğan Dönmez'in yorumundan)

Şöyle de düşünülebilir:
$ABC$ üçgeninde $a>b$ olsun. (EK: $m(\hat{A})>m(\hat{B})$ olur ve $\hat{B}$ dar açıdır)
$\hat{A}$  dik veya geniş açı ise zaten $AB$ nin herhangi bir noktasından çizilen dikme uzun kenarı keser.
$A$ ve $B$ dar açı ise, $C$ köşesinden inilen dikme (ayağına $H$ diyelim), $ABC$ üçgenini (dik köşesi $H$ de olan) iki dik üçgene böler. Bu dik üçgenlerin hipotenüs uzunlukları $a=|BC|$ ve $b=|AC|$, ortak dik kenar uzunlukları $|CH|=h_C$ dir, diğer dik kenarları $AB$ nin parçalarıdır ($AH$ ve $BH$). Pisagor bağıntısından, $|BH|>|AH|$ olur. Öyleyse $AB$ nin orta noktası $B$ ile $H$ arasındadır. Orta noktadan çizilen dikme $BC$ yi (uzun kenarı) keser.

Comments

Sağol Ali Demirci.

---

Bu düşünceniz daha güzel hocam. Pisagor bağıntısı kullanmadan $a\gt b\Leftrightarrow A\gt B\Leftrightarrow90-A\lt 90-B\Leftrightarrow AH\lt BH$ olduğu söylenebilir.