$\sin\sqrt{ax-x^2}=0$ denkleminin gerçel kökleri toplamı 100 ise $a$ yı bulunuz.

Question

($a$ bir gerçel sayı olmak üzere) $\sin\sqrt{ax-x^2}=0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı $100$ olduğu bilindiğine göre $a$ sayısını bulunuz.
(Gürcistan da, bir Matematik sınavında (belki Olimpiyat seçmeleri) sorulmuş)

Comments

$\sin k\pi=0$ olduğundan $ax-x^2=(k\pi)^2$ denkleminden kökler toplamı $x_1+x_2=a$  ve $\Delta\ge0$ olacağından $a^2-4k^2\pi^2\ge 0$   yazılabiliyor.

$\sqrt{ax-x^2}=k\pi\ge 0$ olduğundan $k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ olmalı.

O zaman $a\ge 2k\pi$ veya $\dfrac{a}{2\pi}\ge k\ge 0$ olur. Yani $k_{maks}=\lfloor\dfrac{a}{2\pi}\rfloor$ buluruz ama kökler toplamının $100$ olmasını kullanamadım.

---

Çözüme az bir şey kalmış.

Her bir $k$ için kökler toplamı ($ax-x^2-k^2\pi^2=0$ dan) $a$ dır. Öyleyse tüm köklerin toplamı $(k_{maks}+1)a=\left(\left\lfloor \frac a{2\pi}\right\rfloor+1\right) a=100$.
Gerisi kolay.

---

Tamam hocam; $100$ 'ün $(1,100),(50,2),(25,4)$ şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denediğim zaman $a=25$ bulunuyor.

Answer 1

(1) $ax-x^2$ polinomu, $a$'nın işaretine göre, $[a,0]$ ya da $[0,a]$ arasında kök içerine alınabilir.

(2) Tepe noktası $a/2$ olduğundan ve bu noktaya göre simetrik olduğundan $0$ ile $a/2$ (hariç) arasındaki kökleri ikili eşleştirilirse toplamı $2\cdot (a/2)$ olur.

(3) Bu bilgiler ile $n$ kök varsa kökler toplamı $n\cdot (a/2)$ olur.

(.) Kökler toplamı gereği $a$, $200$'ün bir pozitif tam böleni olur.

(4) Bu bilgi ile $a/2$ bir kök olamaz ve kök toplamı, $0$ ile $a/2$ arasındaki  kök sayısına $m$ dersek $m\cdot a=100$ olur.

(5) Tepe noktasında artan şekilde maksimum değer aldığından, kök ile, $m=\lceil a/(2\pi)\rceil$ olur.

(6) $a\cdot \lceil a/(2\pi)\rceil=100$ olacak şekilde pozitif $a\mid 100$ değerini bulmamız gerekir.

(.) Sol taraf artan ve $a=20$ için $\lceil10/\pi\rceil<5$ ve $a=50$ için $\lceil 25/\pi\rceil>2$ olduğundan

(7) Eşitlik sadece $a=25$ için sağlanabilir ve sağlanıyor.

Answer 2

$\sin k\pi=0$ olduğundan $ax-x^2=(k\pi)^2$ denkleminden kökler toplamı $x_1+x_2=a$  ve $\Delta\ge0$ olacağından $a^2-4k^2\pi^2\ge 0$   yazılabiliyor.

$\sqrt{ax-x^2}=k\pi\ge 0$ olduğundan $k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ olmalı.

O zaman $a\ge 2k\pi$ veya $\dfrac{a}{2\pi}\ge k\ge 0$ olur. Yani $k_{maks}=\lfloor\dfrac{a}{2\pi}\rfloor$ buluruz.

Her bir $k$ için kökler toplamı ($ax-x^2-k^2\pi^2=0$ dan) $a$ dır.

Öyleyse tüm köklerin toplamı $(k_{maks}+1)a=\left(\left\lfloor \frac a{2\pi}\right\rfloor+1\right) a=100$.

$100$ 'ün $(1,100),(50,2),(25,4)$ şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denendiği zaman kolayca $a=25$ bulunuyor.

Comments

Küçük bir sorun var: $a$ tamsayı olmak zorunda değil. Biraz daha analiz gerekiyor.

---

$a(k+1)=100\ge (k+1)2k\pi$ olduğundan $k=0,1,2,3$ olabilir.

$a(k+1)=100$ ve $k=\lfloor a/2\pi\rfloor$ birlikte düşünülürse $k=3$ olmalı.