Kümelerin Çarpımı

Question

$x,y\in \mathbb{R}$ ve $\epsilon>0$ olsun.

$$(x-\delta,x+\delta)\cdot (y-\delta,y+\delta)\subseteq (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$ koşulunun sağlanması için $\delta>0$ sayısı nasıl seçilmelidir?

 

Not: $A,B\subseteq \mathbb{R}$ olsun.

$$A\cdot B:=\{xy|(x\in A)(y\in B)\}.$$

Answer 1

Verilmiş bir $\epsilon>0$ sayısına karşılık
$$(x-\delta,x+\delta)\cdot (y-\delta,y+\delta)\subseteq (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$ koşulunun sağlanması için $\delta>0$ sayısının
$$(x-\delta)\cdot (y-\delta)\in (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$$$(x-\delta)\cdot (y+\delta)\in (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$$$(x+\delta)\cdot (y-\delta)\in (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$$$(x+\delta)\cdot (y+\delta)\in (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$ koşullarını yani
$$xy-\epsilon\leq xy-x\delta-y\delta+\delta^2\leq xy+\epsilon$$$$xy-\epsilon\leq xy+x\delta-y\delta-\delta^2\leq xy+\epsilon$$$$xy-\epsilon\leq xy-x\delta+y\delta-\delta^2\leq xy+\epsilon$$$$xy-\epsilon\leq xy+x\delta+y\delta+\delta^2\leq xy+\epsilon$$ koşullarını yani
$$-\epsilon\leq -x\delta-y\delta+\delta^2\leq \epsilon$$$$-\epsilon\leq x\delta-y\delta-\delta^2\leq \epsilon$$$$-\epsilon\leq -x\delta+y\delta-\delta^2\leq \epsilon$$$$-\epsilon\leq x\delta+y\delta+\delta^2\leq \epsilon$$ koşullarını yani
$$|-x\delta-y\delta+\delta^2|\leq \epsilon$$$$|x\delta-y\delta-\delta^2|\leq \epsilon$$$$|-x\delta+y\delta-\delta^2|\leq \epsilon$$$$|x\delta+y\delta+\delta^2|\leq \epsilon$$ koşullarını sağlaması gerekir.
$$|-x\delta-y\delta+\delta^2|\leq |-x\delta|+|-y\delta|+|\delta^2|=|x\delta|+|y\delta|+\delta^2$$$$|x\delta-y\delta+\delta^2|\leq |x\delta|+|-y\delta|+|-\delta^2|=|x\delta|+|y\delta|+\delta^2$$$$|-x\delta+y\delta+\delta^2|\leq |-x\delta|+|y\delta|+|-\delta^2|=|x\delta|+|y\delta|+\delta^2$$$$|x\delta+y\delta+\delta^2|\leq |x\delta|+|y\delta|+|\delta^2|=|x\delta|+|y\delta|+\delta^2$$ olduğundan $\delta>0$ sayısını $$|x\delta|+|y\delta|+\delta^2\leq \epsilon$$ koşulu sağlanacak şekilde seçersek işimiz biter. Şimdi $\delta>0$ sayısını $0<\delta\leq 1$ olacak şekilde seceçeğimizi kendimize söz verelim.
$$0<\delta\leq 1\Rightarrow |x\delta|+|y\delta|+\delta^2\leq |x|\delta+|y|\delta+\delta=\delta(|x|+|y|+1)$$ olduğundan $$0<\delta\leq\min\left\{1,\frac{\epsilon}{|x|+|y|+1}\right\}$$ seçilirse hem istenen koşul sağlanmış olur hem de verdiğimiz sözü tutmuş oluruz.

Toparlayacak olursak her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \min\left\{1,\frac{\epsilon}{|x|+|y|+1}\right\}$  seçilirse $$(x-\delta,x+\delta)\cdot (y-\delta,y+\delta)\subseteq (xy-\epsilon,xy+\epsilon)$$ koşulu sağlanır.