$$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx=\beta\cdot f(\beta)-\alpha\cdot f(\alpha)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$\alpha,\beta,a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere $f:[\alpha,\beta]\rightarrow [a,b]$ bijektif ve Riemann integrallenebilir bir fonksiyon, $f(\alpha)=a$ ve $f(\beta)=b$ ise $$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx=\beta\cdot f(\beta)-\alpha\cdot f(\alpha)$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Ek olarak:
Bijektif olması integrallenebilir olmasını gerektirmiyor. Örneğin, irasyonellerde x rasyonellerde x+1 alan fonksiyon hiçbir kapalı aralık üzerinde Riemann integrallenemez.

---

Haklısın Sercan. Düzelttim. Teşekkür ederim.

Answer 1

Öyle $g(x)$ fonksiyonu için $\int f(x) dx = g(x)$ kabul ettiğimizde $\int^{\beta}_{\alpha} f(x) dx = g(\beta) - g(\alpha)$ olacaktır

 $y = f(x)$ için $\int f^{-1}(x) dx$ integralini incelediğimizde

$\int f^{-1}(x) dx = \int f^{-1}(y) dy = \int x f'(x) dx$

Son kısımdaki integrale kısmı integrasyon uygulandığında

 $\int f^{-1}(y) dy = xf(x) - g(x) = y f^{-1} (y) - g(f^{-1}(y)) $

Belirli integrali hesaplayınca

$\int^{f(\beta)}_{f(\alpha)} f^{-1}(x) dx = x f^{-1} (x) - g(f^{-1}(x)) \Big|_{f(\alpha)}^{f(\beta)} = \beta f(\beta) - \alpha f(\alpha) - g(\beta) + g(\alpha)$

Böylece iki integralin toplamıyla

$\int^{\beta}_{\alpha} f(x) dx + \int^{f(\beta)}_{f(\alpha)} f^{-1}(x) dx = \beta f(\beta) - \alpha f(\alpha)$

bulunur

Comments

Bu çözümde (hipotezde olmayan) $f$ nin türevi kullanılmış. Türev olmadan (belki hipotezi biraz daha kuvvetlendirmek gerekiyor) çözüleblse daha güzel olur.