Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim.
Yazdığınız işlemlerden yola çıkarak son şeklini vermeye çalıştım.
($\forall$A$\subseteq$X)(A=$f^{-1}$[f[A]])....$(*)$ önermesinin doğru olduğunu göstermek için birbirlerinin altkümesi olduğunu göstermeliyiz.
Amacımız (1) A$\subseteq$$f^{-1}$[f[A]] ve (2)$f^{-1}$[f[A]]$\subseteq$A (1),(2) olduğunu göstermek.
Başlayalım.
($\forall$A$\subseteq$X)(x$\in$A)
f[x]=$\Bigl\{$f(x) $\mid$x$\in$X $\Bigl\}$ $\Longrightarrow$ f(x)$\in$f[A] $\Longrightarrow$ x$\in$$f^{-1}$[f[A]]
f, fonksiyonunun birebir olduğunu varsayalım ve herhangi bir A$\subseteq$X altkümesini düşünelim.
Elimizde A$\subseteq$$f^{-1}$[f[A]] bilgisi var.
x$\in$$f^{-1}$[f[A]] $\Longrightarrow$ f(x)$\in$f[A] $\Longrightarrow$$\exists$$x^{'}$$\in$A[f(x)=f($x^{'}$)] diyebiliriz.
f,fonksiyonunun birebir olduğunu varsaydığımızdan
x=$x^{'}$ ve $x{'}$$\in$A$\Longrightarrow$x$\in$A olacaktır.
O halde $f^{-1}$[f[A]$\subseteq$A 'dır.
(1),(2) 'den A=$f^{-1}$[f[A]]
Amacımıza ulaştık.
Son halini bu kadar devam ettirebildim,
umarım doğrudur.
Teşekkürler.