$\left\lbrace \frac{2a+3b}{4a+5b}+\frac{2b+3a}{4b+5a}\mid a,b>0\right\rbrace\subset\left(\frac{11}{10},\frac{10}9\right]$ olduğunu gösteriniz.

Question

$\left\lbrace \dfrac{2a+3b}{4a+5b}+\dfrac{2b+3a}{4b+5a}\mid a,b>0\right\rbrace\subset\left(\dfrac{11}{10},\dfrac{10}9\right]$ olduğunu gösteriniz.

Bu aralığın bu içermeyi gerçekleyen en küçük aralık olduğunu da gösteriniz.

Answer 1

Problemi genellemek adına:
$x=b/a$ ve $c=5/4$ diyelim. İfadeyi $$1+\dfrac{b}{4a+5b}+\dfrac{a}{4b+5a}=1+\dfrac{1}{4x^{-1}+5}+\dfrac{1}{4x+5}=1+\dfrac14\left(\dfrac1{x^{-1}+c}+\dfrac1{x+c}\right)$$ olarak düzenleyelim. 

___________________________________________________
Soru için direkt $c=5/4$ değeri için devam etmemiz gerekir ama $c>0$ herhangi bir gerçel sayı olarak düşünelim.

$f_c(x)=\dfrac1{x^{-1}+c}+\dfrac1{x+c}$ için  $f_c(1/x)=f_c(x)$ sağlandığından $[1,\infty)$ olarak ilgilenmemiz yeterli.

Şu an için ilgilenmek istediğim bu genel fonksiyonun davranışı. 

Türev alırsak $$f_c^\prime(x)=-\dfrac{(c^2-1)(x^2-1)}{(x+c)^2(cx+1)^2}$$ olarak $0<c<1$ ise artan, $c=1$ ise sabit, $c>1$ ise azalan olur. Bu da bize $f_c$ fonksiyonunun değerinin (sonsuz limiti olarak alacağız, burası aralığın açık kısmını verecek) $$\dfrac2{c+1}\text{ (kapalı) ile } \dfrac1c \text{ (açık)}$$ arasında olacağını verir.

Soru: Türev almadan gözükebilecek bir halde aslında ama bunu nasıl güzel yazarız?
___________________________________________________________________________
Bu fikri soruda uygularsak $b/a=1$ ya da $a/b\to 0^+$ olacak şekilde aralık istenildiği gibi olur.

Comments

"$x+x^{-1}\ge 2$ elde etmek için $(x+1)^2$" tarzı bir araç $f_c$ için var mı diye merak ediyorum.

---

$a=b$  iken $f(a,b)=10/9$ maksimum değerini almasının fonksiyonun simetrisi ile bir ilgisi var mı? Birkaç örnekte kısmi türevlere bulaşmadan işe yaradığını gördüm.

---

$f_c$'lere geçme sebebim bu. Katsayıları simetrik olarak değiştirirsen bu $f_c$'lerden birine geliyoruz. Bu nedenle, evet, $a=b$ durumunda $c$'nin $<1$, $>1$ olmasına göre maks ya da min değer alıyor. Cevaptaki son cümleye denk geliyor maks ve min.

(Örnek var mı diye bakmadım ama) Başka bir simetrik ama $(0,1]$ ya da $[1,\infty)$ üzerinde monoton olmayan bir (ikinci dereceden gibi) fonksiyon verilebilir. Bu durumda işler değişir. $b=a$ durumunda maks ya da min elde etmeyiz.

Answer 2

Çözüm Poyraz'a aittir:

$r\gt 0$  ve  $0\lt \theta\lt\pi/2$ olmak üzere $a=r\cos\theta, b=r\sin\theta$ dönüşümü ile $$f(\theta)=\dfrac{40+41\sin2\theta} {44+46\sin2\theta}$$ elde edilir.  $\sin2\theta$ fonksiyonu $(0,\pi/2)$ de simetrik olduğundan $(0,\pi/4]$ aralığını incelemek yeterli. Bu aralıkta $$f'(\theta)=\dfrac{72\cos2\theta}{(41\sin2\theta+40)^2}\ge0$$ olduğundan $f$ monoton artandır. Buna göre $f_{min}=f(0)=11/10$  ve  $f_{maks}=f(\pi/4)=10/9$ olmalıdır. Yani $$11/10\lt f(\theta)\le10/9$$