$P(\sqrt 3+1)=2(\sqrt 3-1)$ eşitliği

Question

Bir  TYT-AYT deneme sınavında sorulmuş.

Baş katsayısı $-1$ olan rasyonel katsayılı $3.$ dereceden bir $P(x)$ polinomu için $$P(\sqrt {3}+1)=2(\sqrt{3}-1)$$ eşitliği veriliyor.

Buna göre $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
 
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

Answer 1

Her $a$ rasyonel sayısı için $$P_a(x)=-(x-1)^3-a(x-1)^2+5(x-1)+3a-2$$ istenen şartı sağlar ve istenen değer $P_a(1)=3a-2$ olur.

Answer 2

Çõzüm:Lokman Gökçe

Soru hatalıdır.

$a,b,c$ rasyonel sayılar olmak üzere $P(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$ diyelim. $P(\sqrt{3} + 1) = 2(\sqrt{3}- 1)$ verildiğinden
$$ -(\sqrt{3} + 1)^3 + a(\sqrt{3} + 1)^2 + b(\sqrt{3} + 1) + c = 2\sqrt{3} - 2 $$
olur. $c = \sqrt{3}(-2a-b+8) + (-2a-b+8)$ olup $\sqrt{3}$ içeren terimlerin katsayılarını eşitleyelim. Ayrıca rasyonel terimleri de birbirine eşitleyelim. $2a+b = 8$ ve $c = -2a-b+8$, $c=0$ olur. Katsayılar toplamı $-1 + a + b + c = -1 + a + (8-2a) + 0 = 7 - a$ bulunur. Cevap $7-a$ olup $a$ değişkenine bağlı olduğundan, katsayılar toplamından sabit bir değer elde edilemez.