Question

Paydası 120 olan, 1 den küçük sadeleşmeyen kaç pozitif rasyonel sayı vardır?

Answer 1

$120=2^3.3.5$ bu durumda asal çarpanlara göre hareket edersek:

$\frac{120}{2}=60$ sayı $2$ ile bölünür,

$\frac{120}{3}=40$ sayı $3$ ile bölünür,

$\frac{120}{5}=24$ sayı $5$ ile bölünür, toplam $124$ sayı olur.

$2$ asalın ortak noktalarını çıkartmalıyız çünkü onları $2$ defa saydık. O halde:

$\frac{120}{2.3}=20$ sayı $6$ ile bölünür,

$\frac{120}{2.5}=12$ sayı $10$ ile bölünür,

$\frac{120}{3.5}=8$ sayı $15$ ile bölünür, toplam $40$ sayı olur.

$3$ asalın ortak noktalarını geri eklemeliyiz çünkü onları $3$ defa ekleyip $3$ defa çıkardık:

$\frac{120}{2.3.5}=4$ sayı $30$ ile bölünür.

O halde sonuç $120-(124-40+4)=32$ farklı kesir vardır.

Comments

Böyle uzun uzadıya yapmaktansa;

$E(120)$=($2^3$-$2^2$).($3^1$-$3^0$).($5^1$-$5^0$)=32

Daha genel olarak:

{1,2,3,...,n} kümesinde $n$'den küçük olan ve $p$ asalına bölünmeyen $n$-[$\frac{n}{p}$] tane sayı vardır.