Bir çelişkiye ulaşmak maksadıyla, $e$ sayısının cebirsel olduğunu varsayalım. O zaman derecesi $n$ olan, tam sayı katsayılı bir $\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ polinomu için
$a_0+a_1e+a_2e^2+...+a_ne^n=0$ $(\ast)$
olur. Yeterince büyük bir $p$ asal sayısı alarak, derecesi $m=(n+1)p-1$ olan
$f(x)=x^{p-1}(x-1)^p...(x-n)^p$
polinomu tanımlayalım. Son olarak da,
$J=a_0I_f(0)+a_1I_f(1)+...+a_nI_f(n)$
diyelim. [2] eşitliği $J$'ye uygulandığında $(\ast)$ nedeniyle,
$J=\sum_{k=0}^{n}a_kI_f(k)$
$=\sum_{k=0}^{n}(e^k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(k))$
$=\sum_{k=0}^{n}a_ke^k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(0)-\sum_{k=0}^{n}a_k\sum_{j=0}^{m}f^{(j)}(k)$
$=-\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_kf^{(j)}(k)$
olur. Şimdi, $f^{(j)}(k)$ değerlerini göz önüne alalım:
Eğer $j<p-1$ ise, $f$'nin çarpanlarından hiçbiri türev alındığında sıfırlanmayacağından, her $k$ için $f^{(j)}(k)=0$ olur; $j=p-1$ olduğunda, $f^{(j)}(k)$ ifadesinin her teriminde sadece $x^{p-1}$ çarpanı sıfırlanacağından $k>0$ iken $f^{(j)}(k)=0$ sağlanır; $j=p-1$ ve $k=0$ durumunda, alınan türeve sıfırdan farklı $f^{(p-1)}(0)=(p-1)!(-1)^{np}(n!)^p$ değerini ekleyen terim $x^{p-1}$ olur; $j\geq p$olduğunda ise, $f^{(j)}(k)$ ifadesinde $(x-k)^p$ çarpanının türev alma işlemi sonunda kaybolduğu termler sıfırdan farklıdırlar ve bu durumda ilgili terimlerin baş katsayıları $p!$ sayısının bir katı olur.
Şimdi de, $p>n$ olduğunu kabul edelim: O zaman $f^{(p-1)}(0)$ sayısı $(p-1)!$ sayısının bir katıdır fakat $p!$ sayısının bir katı değildir. Böylece, $N$ bir tam sayı ve $M$ de $p$'ye bölünmeyen bir tam sayı olmak üzere,
$J=Np!+a_0M(p-1)!=(p-1)!(Np+a_0M)$
olduğu görülür. Bir varsayım daha yaparak, $p>a_0$ olduğunu kabul edelim: Bu durumda $Np+a_0M$ sayısı 0'dan farklı olur ve bundan dolayı
$|J|\geq (p-1)!$ $(\ast\ast)$
eşitsizliği sağlanır. Diğer taraftan, basit bir gözlemle $F(k)\leq (2n)^m$ olduğu görüleceğinden, $A=max_{1\leq k\leq n}|a_k|$ ve $p$ sayısına bağlı olmayan bir $C$ sabiti için,
$|J|\leq |a_1|eF(1)+...+|a_n|e^nF(n)$
$\leq Ane^n(2n)^{(n+1)p-1}$
$=\frac{Ane^n}{2n}((2n)^{n+1})^p$
$\leq C^p$
elde edilir. Ancak $C$ sayısı ne olursa olsun yeterince büyük $p$'ler için $(p-1)!>C^p$ olacağından, br üstteki eşitsizlik ile $(\ast\ast)$ eşitsizliği birbirleriyle çelişir. $\square$