Bir hikaye ve iddia (unlu futbol bahisi) kuponu

Question

Soruyu gunluk hayatta olasiligi yorumlama adina soruyorum: (aslinda tam da soru degil)

Bence tamamen kurgusal bir hikaye:
Bir ulkede matematik bilmeyenlerden vergi alalim diye bir karar dusunmusler. Tabi kalabalik toplumda bunlari ayirt etmek zor, bunun icin de milli piyango, sayisal loto gibi oyunlari cikarmislar. (ki maglum sayisal loto icin basit bir hesap yapildiginda kazanma oraninin cok dusuk oldugu gorulecektir)

Simdi iddia icin de: (oncellikle hic oynamadim ve bu fiksturlerine bakmadim, fakat 2 uzerinde oranlar oldugunu duymustum) Simdi beraberlige 2+ oran verilsin diyelim. (olmadi takim vs degistirerek 2+ elde ederiz.) O zaman ben ilk mactan baslarsam, sabit takimim berabere kalana kadar 1-2-4-8-16-... para yatirirsam, her berabere kaldiginda 1 kara gecmis olurum. Bir takim 5 kere berabere kalsa 1=1000tl olsa, yillik 5000tl kar.

Hatta bu sayisal lota hakkinda, ABD'de olabilir, bir hikaye duymustum. istatislik yaparak orani arttirdiklari ve bir suru oyun oynayip (tum olasiliklari degil) kazandiklari ve bunlara oynamayi yasakladiklarini duydum. Grup matematikcilerden olusmakta. 

Hazir sitemiz de var artik, bi toplasip kolay para mi kazansak.. ya da matematigimizi kullanip vergi mi vermesek.. 

Answer 1

Bahsedilen yöntem martingale denen bir kumarbaz efsanesidir. Diyelim ki elimizde kazanma şansı $1/2$ olan bir oyun var ve oyunu her kazandığımızda bize yatırdığımızın iki katını veriyor. Oyunu her kaybettiğimizde kazanana dek önceki kaybettiğimiz paranın iki katını yatırarak oynamaya devam edersek, eninde sonunda kazanacağımız için kazandığımız an 1 lira kara geçiyoruz zira $2^{k+1}-(1+2+...+2^k)=1$.

Buradaki sorun bahsi oynayan kişinin sınırlı miktarda paraya sahip olduğunun göz ardı edilmesinden kaynaklanmakta. Eğer bahsi oynayan kişinin sınırsız miktarda parası olduğu varsayılırsa, her kaybettiğinde iki katını yatırarak bahse girmeye devam ettiğinde sonsuza dek kazanmama şansı sıfır olduğu için eninde sonunda kazanacaktır ve bu noktada önceki kayıplarını da telafi ederek kâra geçecektir. Ancak gerçek hayatta sınırlı miktarda paraya sahibiz ve paramız bitene kadar oyunu kazanma olasılığımız $1$ değil. Oyuncunun $M$ liraya sahip olduğu varsayılıp bu stratejinin bir analizi yapılırsa bir getirisi olmadığı görülebilir.

Bu noktada Bernoulli'ye ithaf edilen St. Petersburg paradoksundan bahsetmek istiyorum ki bu stratejinin neden yanlış olduğu daha iyi anlaşılsın.

Diyelim ki bir kumarhanede yazı tura oyunu oynuyoruz. Yazı tura atmaya başlıyoruz. Oyun tura geldiği an bitiyor. Tura gelmezse de gelene kadar atmaya devam ediyoruz. Eli mahkum, oyun bir noktada sonlanacak zira sonsuza dek tura gelmeme olasılığı sıfır.

Kural şu: Eğer oyun $k.$ yazı tura atışında sonlanırsa oyuncu $2^k$ lira kazanıyor.

Şimdi asıl soru geliyor. Eğer kumarhanenin sahibi size bu oyuna girme ücretinin 1 milyon lira olduğunu söylerse oyunu oynar mıydınız?

Tabii ki de hayır. Öte yandan matematiksel olarak bu oyundan beklenen kazanç sonsuzdur. Zira kazandığınız parayı temsil eden sayılabilir sonsuz değerli ayrık rastgele değişkenin beklenen değerini (yani uzun vadedeki kazancınızı) hesaplarsanız şöyle bir tablo ortaya çıkıyor.

Oyun $1/2$ olasılıkla ilk turda bitiyor ve bu durumda $2^1$ lira kazanıyoruz.
Oyun $1/4$ olasılıkla ikinci turda bitiyor ve bu durumda $2^2$ lira kazanıyoruz.
...
Oyun $1/2^k$ olasılıkla k. turda bitiyor ve bu durumda $2^k$ lira kazanıyoruz.

Yani beklenen kazancımız $1/2 \cdot 2^1 + 1/2^2 \cdot 2^2 + ... = \Sigma_{k=1}^{\infty} 1/2^k \cdot 2^k=\infty$

Kumarhane sahibi size oyuna giriş ücretinin 1 milyon lira olduğunu da söylese 100 milyon lira olduğunu da söylese matematiksel olarak oyuna girmeyi kabul etmeniz gerekiyor!

Buradaki sıkıntı nerede? Oyundan beklenen kazanç demek, oyunu art arda oynadığınızda uzun vadede göreceğiniz kazanç demektir. Peki elinizdeki kaynaklar sınırlıysa ne olacak? Giriş ücreti 1 milyon lira olan bir oyunu defalarca art arda oynayabilecek misiniz?

Answer 2

Hiç sevmem kendisini ama Steve Jobs ipod'larla ilgili sürekli şöyle bir şikayet aldıklarını söylemişti.

"Rastgele şarkı çal dediğimizde aynı albümden üst üste şarkılar geliyor, bu nasıl rastgele."

Hikayesine de neden böyle olduğunu açıklayarak devam etmişti Steve Jobs. 

"Hiç durmadan yazı/tura atışı yapılırken her $n$ için $n$ tane yazıdan (turadan da tabii ki) oluşan bir seri olacaktır. Bu yüzden de rastgele şarkı çalarken aynı albümden şarkıların üst üste gelmesinde şaşırılacak bir şey yok."

Senin verdiğin oynama algoritmasında da bu yüzden bir açık var. Rastgele maç sonuçlarında beraberlik olmayan çok uzun maç serileri olacaktır. Çok çok uzun seriler. Hatta her sayı için, günün birinde o sayı kadar beraberlik serisi yapan bir takım çıkacaktır (maç sonuçlarının rastgele olduğu varsayımıyla). Ve paramız da sonlu (yani sonlu paramız olduğunu varsayıyorum, parası sonlu olmayan birisinin kumar oynaması pek mantıklı değil -sonlu para için bahse girmesi). Yani, gün gelecek bütün parayı kaybedeceğiz.

başka bir deyişle, gelmez gelmez :)

Comments

şu da alakalı:

http://matkafasi.com/396/zenonun-paradokslari-hakkinda?show=406#c406

---

Beraberligi cok olan takimi secersek (bazilari beraberlige yatmayi tercih ediyor) ve paramizin makullugunda bolersek. Bence Turkiye liginde 34 macta hic berabere kalmayan takim yoktur.

Isin icinde insanin asiri istegi ve degesiz oranlari girdiginden, bence her zaman kasa kazanir, orasi ayri :)

Answer 3

İddiada oynamayan kazanır der üstadlar :) Ayrıca direkt insanların oynadığı yada sonucu insanlar tarafından belirlenen herhangi bir oyunda kazanma olasılığı normalden daha düşüktür. Para kazanmak için makina tarafından otomatik olarak oynanan oyunlar oynanırsa para kazanma şansı daha yüksektir sayısal loto gibi. Tabii buna gizliden bir insan eli değmediğine inanıyorsak :) Yani bence günümüzdeki oyunlara insan eli değerek biraz matematik dışına çıkıyor.

Answer 4

Aslında buradaki en önemli açık ne matematiksel temelin yalnış olması  nede sınırlı kaynaklar, kaybetme ya da kazanmanın daha doğrusu oyundaki istikrarın temel kriterinin ruhsal yapı ( o an düşündükleri, oyunda o zamana kadar kaybettiği ya da kazandığı oyunların kendince farklı yorumlaması) dır. o yüzden Günlük hayatta bırakın çok uzun süre kaybetmeyi ilk seferlerde kazansa bile büyük ihtimalle oyunların sonunda kayıplı olarak hatta beş parasız çıkacaktır. Örneğin Borsanın ya da diğer türev piyasaların çok net matematiksel ön görüleri olmasına çok da iyi matematikçiler bulunmasına rağmen bu işten çok para kazanan (matematik temelli) insan sayısı kaybedenlere oranla ihmal edilecek düzeydedir. Özetle bu tip oyunlar (bahisler piyasa işlemleri) günlük hayatta teoriye uymazlar. Çoğuna anlamsız gelebilir ama bence siz oynarken yazı tura gelme ihtimaline para yatırmak 1/2 ye para yatırmakla aynı değildir