Cebirsel sayılarla ilgili bir soru

Question

$(\sqrt1, \sqrt1+\sqrt2, \sqrt1+\sqrt2+\sqrt3,...)$ dizisinin, kısaca genel terimi    $a_n =\sum_{k=1}^{n}\sqrt k$ olan dizisinin her teriminin bir cebirsel sayı olduğunu gösteriniz. 

Bir uygulama olarak : köklerinden birsi $1+\sqrt2+\sqrt3$ olan polinomu bulunuz.

Comments

Bu soruya benzer eski bir soru var.

http://matkafasi.com/60/alpha%24-cismi-uzerine-cebirselse-alpha-uzerine-cebirseldir#a101

orada (farklı cevaplarda) hem teorik çözüm hem de örnek verilmiş. 

(Teorik çözümü tümevarımla birleştirerek buradaki sorunun cevabı elde ediliyor)

---

Gerçi ilk ispatta ufak bir hata varmış ama öz olarak doğru.

---

$$x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

$$\Rightarrow$$

$$(x-1)^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2-2x-4=2\sqrt{6}$$

$$\Rightarrow$$

$$(x^2-2x-4)^2=24$$

$$\Rightarrow$$

$$\ldots$$ 

---

Bir de daha küçük dereceden olamayacağını göstermek gerek tabi. Ek olarak da çok doğal olarak $\mathbb Q(1+\sqrt 2+\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt3)$. Biraz işlemden sonra $\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt3)$.

---

Polinomun katsayilari rasyonel olmak zorunda mi? Daha dogrusu birisi polinom dedigi zaman otomatikman katsayilan rasyonel oldugu mu anlasilmalidir? Katsayilari reel olan polinomlar icin "reel katsayili polinom" ifadesi kullanilmali midir?

---

Direk anlasilmamali aslinda, yani en basinda nerde oldugu soylenmeli. Lakin asinaliktan $\mathbb Q$ uzerinde oldugu anlasiliyor. Hem genel olarak: eger bir bilgi verilmezse taban cisim alinir, burdaki taban cisim de $\mathbb Q$.