1) Teorem (Liouville): Eğer $a$ $n\geq 1$ derecesinden cebirsel bir sayı ise, her $p,q\in \mathbb{Z},\ q>0$ için
$|a - \frac{p}{q}|\geq \frac{\gamma}{q^{n}}$
eşitsizliğini sağlayan bir $\gamma=\gamma(a)$ sabiti vardır.
Bunun çok farklı yollardan kanıtları mevcutmuş: Genelleştirilmişi olan Güting teoremi (Güting, R. Approximation of algebraic numbers by algebraic numbers. Michigan Math. J. 8 (1961), no. 2, 149-159. doi:10.1307/mmj/1028998566 ) ile, çokterimlilerin çarpanlarına ayrımları ile ya da
Kanıt (Ortalama değer teoremiyle): f(x) $a$ için asgari çokterimli olsun (= $f(a)=0$'ı sağlayan, katsayıları doğrusal bağımsız ve baş katsayısı pozitif olan indirgenemez çokterimli). Genelliği kaybetmeksizin (aksi takdirde aşikar) $a\in\mathbb{R}$ ve $|a-\frac{p}{q}|<1$'i varsayalım. Ortalama değer teoremine göre $f(a)-f(p/q))(a-p/q)f'(\epsilon)$ eşitliğini sağlayan belli bir $\epsilon\in]a,p/q[$ mevcuttur. Böylece $\epsilon\in]a,p/q[ \Rightarrow \exists \gamma=\gamma(a)>0: |f'(\epsilon)|<1/\gamma $
$f(a)=0$ olduğu için
$|a-\frac{p}{q}|>\gamma |f(\frac{p}{q})|$. f(x) asgari çokterimli olduğu için $\mathbb{Z}[x]$ üzerine indirgenemez ve Gauss'un yardımcı teoremine göre $\mathbb{Q}[x]$ üzerine de indirgenemez.
Bir soru ile ilgili: Z[x] üzerine indirgenemez, Q[x] üzerine indirgenebilir bir polinom var mıdır?
Yani $\frac{p}{q}\neq 0$ ve $q^{n}f(\frac{p}{q})\geq 1$
$\Rightarrow |a-\frac{p}{q}|>\gamma |f(\frac{p}{q})|>\frac{\gamma}{q^{n}}$
$ \square$
2) Tanım: Eğer $a$ gerçel sayısı $0<|a -\frac{p_m}{q_m}|\leq q_m^{-w_m}$ şartını 'sonsuza yakınsayan' bir gerçel sayı dizisi $w_1,w_2,...$ ve $q_m \geq 2$ olan bir rasyonel sayı dizisi $\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},...$ için sağlıyorsa $a$'ya Liouville sayısı denir.
Sav: Liouville sayıları aşkındır.
Eğer $a$ bir Liouville sayısıysa ve aşkın değilse, o zaman $n$ derecesinden cebirseldir, yani Liouville teoremini $q_m\geq 2,p_m,w_m$ sayıları için kullanabiliriz:
$\frac{1}{q_m^{w_m}}\geq |a - \frac{p_m}{q_m}|\geq \frac{\gamma}{q_m^{n}} \forall m$. $\frac{p_m}{q_m}\neq a$ seçelim $\Rightarrow \gamma\leq q_m^{n-w_m}$. Ama yeterince büyük bir $w_m$ seçilirse ($w_m> n$), $q_m^{n-w_m}<2^{n-w_m}$ olacağı için eşitsizlik sağlanamaz. $\square$
Not: Aşkın olduğu kanıtlanan ilk (Liouville) sayı(sı) Liouville sabitidir,
$c=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} 10^{-(j!)}$.
Kanıt: bkz. cevap ($(a_i)_{i\in \mathbb{N}}:=1$, $(w_m)_{m\in \mathbb{N}}:=m$, $\frac{p_m}{q_m}=\frac{p}{q}$ olacak şekilde)
Sav: $\pi$ bir Liouville sayısı değildir çünkü bütün olası $q_m\geq 2$,$p_m$ tam sayıları için $|\pi - \frac{p_m}{q_m}|>q_m^{-42}$ geçerlidir (ve de 42'yi geçmeden sonsuz yakınsayan bir gerçel sayı dizisi yoktur).
Kanıt (sadece $2,14\cdot 10^{14}$'ten küçük olan $q_m$'ler için, geri kalanlar Mahler, K. On the Approximation of pi. Indagationes Math. 15 (1953), 30-42. doi:10.1016/S1385-7258(53)50005-8'de):
Eğer $|\pi - \frac{p_m}{q_m}|\leq q_m^{-42}$ olursa, $p_m,\ q_m$ sayıları için
$|\pi-\frac{p_m}{q_m}<\frac{1}{2q_m^{2}}|$'in de geçerli olması gerekir, yoksa bundan $\frac{1}{2q^{2}}\leq |\pi-\frac{p_m}{q_m}|\leq q^{-42}\Rightarrow q^{40}\leq 2\Rightarrow q<2$ çıkar.
Bu eşitsizliğe göre $p_m/q_m$, $\pi$'nin devamlı kesir yakınsamalarından biri olamak zorundadır (neden?).
$\pi= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,...]$
$(=[b_0;b_1,b_2,...])$
13'e ait $p_{26}/q_{26}$ yakınsaması $2,14\cdot 10^{14}$'den büyüktür, daha önce gelen yakınsamaların en büyüğü 292'dir. Bu yüzden
$|\pi- \frac{p_m}{q_m}|>\frac{1}{q_m (q_{m+1}+q_m)}=\frac{1}{q_n((b_{n+1}+1)q_n+q_{n-1})}>\frac{1}{(b_{n+1}+2)q^2_n}\geq \frac{1}{292+2}q_n^2>q_n^{-42}$
Bir soru ile ilgili: Devamlı kesir teoremlerini kanıtlayın.
$e$ için de benzer bir kanıtın olması lazım.
Bir soru ile ilgili: Euler'in devamlı kesir formülü nedir?