Question

$\sigma$-cebiri nedir? $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı Borel $\sigma$-cebiri nedir?

Answer 1

Ben de cümlelerle yazayım. $X$ herhangi bir küme olsun. Bir $\mathcal{S}$ kümesine $X$ kümesi üzerinde tanımlı $\sigma$-cebiri denmesi için $\mathcal{S}$ kümesinin aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir.

1. $\mathcal{S}$ kümesinin elemanlarının $X$'in altkümesi olması lazım, yani $\mathcal{S}$ kümesinin $X$'in altkümelerinin kümesi olan $P(X)$ kümesinin bir altkümesi olması lazım.
2. $\mathcal{S}$ kümesinin tümleme altında kapalı olması lazım. Yani $A\subset X$ kümesi $\mathcal{S}$ kümesinin elemanıysa $X-A$ kümesinin de $\mathcal{S}$'nin elemanı olması lazım.
   
3. $\mathcal{S}$ kümesinin sayılabilir çokluktaki elemanın kesişiminin de yine $\mathcal{S}$ kümesinin elemanı olması lazım.
   

Şu ispatlanabilir. Rastgele $\sigma$-cebirlerinin kesişimi yine bir $\sigma$-cebiridir. Bunun sayesinde de şöyle bir tanım verilebilir: $A\subseteq P(X)$ ise $A$'yı içeren en küçük $\sigma$-cebirine $A$ kümesinin ürettiği $\sigma$-cebiri denir.

Bir topolojik uzay üzerinde açık kümeler kümesinin ürettiği (yani bütün açık kümeleri içeren en küçük) $\sigma$-cebirine Borel $\sigma$-cebiri denir.

Comments

Cebir denmesinin sebebi nedir?

---

Simertrik fark ve kesişim altında Bool cebiri olması demek çünkü.

---

3. şıktaki "sayılabilir çoklukta" ifadesi yerine "keyfi çokluktaki" ifadesini kullanabilir miyiz? 

---

Hayır hocam olmaz. Mesela öyle olsaydı, $[a,b]\cap [b,c]=\{b\}$ olduğu için bütün noktalar Borel sigma cebirinin elemanı, dolayısıyla da bütün altkümeler Borel sigma cebirinin elemanı olurdu. Bu bir tercih meselesi elbette, tanım öyle de verilebilirdi ama öyle verilmemiş. Bunun bir nedeni de, ikili işlemler olan birleşim ve kesişimin limitlerinin de alınmasının istenmesi, daha fazlası değil. Limit alırken de, sayılabilir çoklukta alacağız elbette. Tıpkı sonsuz toplam denilen nanenin sayılabilir altkümeler üzerinden alınması gibi.

Son olarak, ölçülemez kümelerin varlığını biliyoruz, bu demek oluyor ki Borel olmayan altkümeler var. Yani, geriye adım atarak, tanımın rastgele kesişim/birleşim olmadığını görebiliriz.

---

Şafak hocam, $S$ kümesinin elemanları, $X$'in alt kümesi ise $S$kümesi, $P(X)$'in elemanı değil midir?

---

$P(X)$'in altkümesi olur. Nihayetinde $P(X)$'in bazı elemanlarından oluşan bir küme $\mathcal{S}$.

---

O zaman $P(P(X))$'in elemanı.

Answer 2

Tanım ($\sigma$-cebiri): $X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere eğer $\mathcal{A}$ ailesi $$A\in \mathcal{A}\Rightarrow X\backslash A\in \mathcal{A}$$ ve $$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{B}|\leq\aleph_0)\Rightarrow \cup \mathcal{B}\in \mathcal{A}$$ koşullarını sağlıyorsa $$\mathcal{A}$$ ailesine $X$ kümesi üzerinde bir $\sigma$-cebiri denir. Biçimsel olarak şöyle ifade edebiliriz:

$$(X\text{ küme})(\mathcal{A}\subseteq 2^X)$$

$$:\Rightarrow$$

$$\mathcal{A}, \,\ X\text{'de} \,\ \sigma\text{-cebiri}:\Leftrightarrow \begin{cases} 1) \,\ A\in \mathcal{A}\Rightarrow X\setminus A\in \mathcal{A}\\ \\ 2) \,\ (\mathcal{B}\subset \mathcal{A})(|\mathcal{B}|\leq\aleph_0)\Rightarrow \cup \mathcal{B}\in \mathcal{A} \end{cases}$$

Tanım (Bir Ailenin Doğurduğu $\sigma$-cebiri): $X$ herhangi bir küme ve $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$\cap\{\mathcal{A}\mid (\mathcal{F}\subseteq \mathcal{A})(\mathcal{A}, \,\ X\text{'de} \,\ \sigma\text{-cebiri})\}$$

ailesi $X$ kümesi üzerinde bir $\sigma$-cebiridir. Bu $\sigma$-cebirine $\mathcal{F}$ ailesinin doğurduğu (ürettiği) $\sigma$-cebiri denir ve $$\langle\mathcal{F}\rangle$$ ile gösterilir.

Tanım (Borel cebiri): $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay olmak üzere $\langle \mathcal{U}\rangle$ $\sigma$-cebirine $\mathbb{R}$ üzerindeki Borel cebiri denir.

Comments

DEVAMI SONRA TELEFONDA CEVAP YAZMAK ZOR OLUYOR

---

Sanırım $(\mathcal{B}_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{A}\Rightarrow \displaystyle\cup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{B}_n$\in\mathcal{A} kastedilmiş.

Bir de $(X,\mathcal{A})$ ikilisine ölçüm uzayı denir.

---

$$\cup\mathcal{B}:=\cup\{B\mid B\in \mathcal{B}\}$$

---

Ama $\mathcal{B}$ sayılabilir olmak zorunda, fiziksever onu demek istemiş. Öbür türlü Reel sayılar üzerindeki Borel $\sigma$-cebiri $P(\mathbb{R})$ olur.