Wronskian özellikleri diferansiyel denklemler için

Question

$v_1$ ve $v_2$ herhangi iki çözümüyse $y''+ay'+by=0$ denkleminin, öyle ki $v_2/v_1$ sabit bir sayı değil, (yani çözümler lineer açıdan bağımlı değiller birbirlerine)

Soru: $y=f(x)$ herhangi bir çözümüyse diferansiyel denklemin,

Wronskian özelliklerini kullanarak 

$c_1.v_1(0)+c_2.v_2(0)=f(0)$ ve

 $c_1.v'_1(0)+c_2.v'_2(0)=f'(0)$

olduğunu gösteriniz.

$c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} $

Comments

Soruda $v_1$ ve $v_2$ lineer bağımsız çözümler olarak verilmiş. Sonra $y=f(x)$ bir çözüm denmiş. Sorudaki diferansiyel denklem ( $a$ ve $b$ Sabit olarak düşünüyorum) ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklem. Zaten ikinci mertebeden lineer homojen bir diferansiyel denklemin lineer bağımsız iki çözümü olmalıdır. O halde çözüm olarak verilen $y=f(x)$ $v_1$ ve $v_2$ nin lineer kombinasyonu olmalıdır ki onu da zaten yazmışsınız. Soruda Wronskian ile neyi bulmak istediğinizi anlamadım. Daha açık sorabilir misiniz ?

---

$f(0)$ ve altindakinin esitini wronskian kullanarak cozmemiz istenmis. Mesela ilk $w(f,v_1)$ ve boyle iki denklem yazip cozmeyo denedim ama bi yere varamamistm

---

Tamam bu soruya bakayim. Yaniti yazmam biraz surebilir. Ama cozersem yazarim kesin.

---

http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html

şu kullanılacak kesin ama, bulamadım bende daha. 

Answer 1

yukarıda sorulan sorunun teorem olarak ifadesi şu:

Teorem: a ve b fonksiyonları açık bir $I$ aralığı üzerinde sürekli olmak üzere, $v_1$ ve $v_2$, $y''+ay'+by=0 \ ..............(1)$ denkleminin lineer bağımsız iki çözümü olsun. Eğer $f$, (1) denkleminin $I$ aralığı üzerinde herhangi bir çözümü ise, bu takdirde $\forall x \in I$ için

$f(x)=c_1v_1(x)+c_2v_2(x)$

olacak şekilde $c_1$ ve $c_2$ sabitleri vardır.

---------------------------------------------------------------------------

yukarıda anlatılmak istenen şey; 2.mertebeden lineer-homojen denklemlerin genel çözümlerinin bağımsız iki çözümü varsa, bu çözümlerin $f(x)=c_1v_1(x)+c_2y_2(x)$ genel çözümleri ile verilebileceğini söyler.

soruda a yerine özel olarak 0 alınmış.

ispata geçmeden önce iki fonksiyonun lineer bağımsızlığı ne demek, onun tanımını da verelim.

-------------------------------------------------------------------------

Tanım (İki Fonksiyonun Lineer Bağımsızlığı): Bir $I$ açık aralığı üzerinde tanımlı olan iki fonksiyondan hiçbiri, diğerinin bir sabit katı değilse, $f$ ve $g$ fonksiyonlarına, $I$ üzerinde lineer bağımsızdır denir.

bu fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadıklarına, $\dfrac{f}{g}$ veya $\dfrac{g}{f}$ oranlarının $I$ üzerinde sabit değerli bir fonksiyon olup olmadıklarına bakarak karar vereceğiz.

-------------------------------------------------------------------------

İspat. varsayalım ki a, bir $I$ aralığı üzerinde bir nokta olsun.

$c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)=f(a) \\c_1.v'_1(a)+c_2.v'_2(a)=f'(a) \ ..............(2)$

için, $c_1$ ve $c_2$ bilinmeyenlerine göre (2) sisteminin x=a'daki katsayılar determinantı

$W(v_1,v_2)=\begin{vmatrix}v_1 & v_2 \\ v_1^{'} & v_2^{'}\end{vmatrix}$

olup, $v_1$ ve $v_2$ lineer bağımsız çözümler olduğu için (yukarıda teoremin ifadesinde bunların lineer bağımsız çözümler olduğu kabul etmiştik), lineer cebir bilgilerimizden $W(v_1,v_2) \neq 0$ olduğunu söyleriz.

böylece $c_1$ ve $c_2$ değerlerini tek türlü belirleyebiliriz. yani bu çözümler vardır ve tektir deriz. belirlediğimiz bu $c_1$ ve $c_2$ değerleri (1) denkleminin

$K(x)=c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)$

şeklindeki çözümünde kullanılabilir. öyleyse,

$K(x)=c_1.v_1(a)+c_2.v_2(a)=f(a)$ ve

$K'(x)=c_1.v_1^{'}(a)+c_2.v_2^{'}(a)=f^{'}(a)$

bulunur. $f$, $K$ ve $f'$, $K'$ ifadeleri, x=a noktasında aynı başlangıç değerlerine sahip oldukları için özdeştirler ve dolayısıyla $f(x) \equiv K(x)=c_1v_1(x)+c_2v_2(x)$ olur.

böylece, özel olarak yukarıdaki (2) sisteminde a=0 alınırsa, istenen bulunmuş olur.

Comments

cok tesekkurler

---

rica ederim.