"Cok uzun ben bunu okumam" diyenler bunu izleyebilir, ozellikle son 5 dakikasinda Cedric Villani kendi yaptigi isi anlatiyor: https://youtu.be/h4jVZatICAo .
Eger okuyacaksaniz da bastan ozur diliyorum: Gun icinde paragraf paragraf yazdim, paragraflar arasinda bir anlam butunlugu kalmadi (cunku en fazla 8000 karakter kullanabiliyormusum, bazi paragraflar disarida kaldi), uzun oldu ve ben gercekten diferansiyel denklemleri bilmiyorum, o yuzden yanlisim varsa duzeltin lutfen.
Ornek: Bir havayolu sirketi Istanbul'dan Sanliurfa'ya her ay 8000 kisi tasiyor, bilet ucreti de 50 lira. Havayolu sirketi paragoz, bilet ucretini arttirmak istiyor. Pazarlama bolumunden arkadaslar bunun uzerine calisiyorlar ve soyle diyorlar: Eger biz bilet ucretini 1 lira arttirirsak, 100 kisi kaybedecegiz aylik. Bunu yaparken gecmis donemlerdeki fiyatlara, baska havayollarina, kendi tahminlerine, anketlere falan bakiyorlar. Sirket kazancini maksimize etmek icin ne yapmali? Su anda 8000.50=400000TL kazanci var bu ucustan sirketin. 20 lira fiyat artisinda 6000.70=420000TL oluyor, 30 lira fiyat artisinda 5000.80=400000TL oluyor yine ve 40 lira arttirsa biletleri 4000.90=360000TL oluyor. Sirket biletleri 30TL'den fazla arttirirsa para kaybetmeye basliyor ama 30TL'den az bir artis olursa musteri kaybi olmasina ragmen kazanci artiyor. Fiyatlari hangi seviyede tutmali ki kazanci en yuksek olsun? Fiyatlari $x$ lira arttirsa, musteri sayisi $8000 - 100x$ oluyor. Kazanci da bu durumda $K(x) = (50 + x)(8000-100x) = -100x^2 + 3000x +400000$ oluyor. Bu kazanci maksimize etmek icin $K(x)$ fonksiyonunun turevini alip, kritik noktalara bakiyoruz. $K'(x) = -200x + 3000$. Kritik nokta $K'(x) = 0$ olan nokta. Yani, $x = 15$. Demek ki fiyatlari 15TL arttirdigi zaman $1500$ yolcu kaybedecek aylik, ama kazanci cok daha fazla (en fazla) olacak.
Bu ornegi hayalgucunu kullanarak cok daha fazla degistirebilirsin. Bir restoranin fiyat politikasi, bir GSM operatorunun fiyat politikasi, bir futbol takiminin formalarini satarkenki fiyat politikasi... Tabii ki cogu zaman hayat bu kadar basit degil, fonksiyonlar biraz daha karmasik oluyor.
Ornek: Meteoroloji insanlari (meteorolojist?) hava sicakligiyla ilgili, ruzgar hiziyla ilgili veriler toplayip bu verileri anlamaya calisiyorlar. Dikkat edersen, dunya iki boyutlu degil, duz hic degil. Tam olarak kure de degil ama, kure dersek de cok uzulmez diye dusunuyorum. O zaman bu meteoroloji insanlari soyle bir sey yapabilir mesela: $f: Kure \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu $f(x) = x \text{ noktasindaki sicaklik }$ olarak tanimlayabilir, boylece sicakligin dunya uzerinde nasil degistigini , nasil yayildigini ve bu degisimin ne kadar hizli oldugunu gorebilir, gelecege yonelik tahminler yapabilir. Bunun icin gerekli olan matematiksel bilgi, tabii ki soyut bir sekilde matematikciler tarafindan calisilir, calisilmistir.
Ornek: Yeni bir su kaydiragi parki insa etmek istiyoruz. Kaydiraklardan bazilarini kivrimli kivrimli yapacagiz. Bu kivrimlar ne kadar olmali, kaydiragin egimi ne olmali, verecegimiz suyun hizi ne kadar olmali, bu kaydiraga binecek kisinin agirligi hangi sinirlar dahilinde olmali ki havada ucan insanlar gormeyelim.
Son iki ornekte isin icine yeni sekiller de girdi gordugun gibi. Kure ya da kaydirak gibi. Nesnelerimizin egriligi de cok onemli ve matematigin bircok alaninda bu olgudan cokca yararlaniliyor. Gordugun gibi fonksiyonlar cok degisik yerlerde olabiliyor ve bunlar icin cok daha karmasik turev teorileri gerekiyor. Ama amac hep ayni, birim zamandaki degisim miktari. Bazen elimizde uygun bir uzay ve kosullar oluyor, ona gore fonksiyon belirliyoruz. Bazen de elimizdeki fonksiyonlarin dogrulugundan emin oluyoruz ve ona gore uzay belirliyoruz. Ornegin, Einstein fiziginde goreceliligi anlamak icin bildigimiz 3 boyutlu uzayi degil Minkowski uzayini kullaniyoruz.
Ornek: Simdi biraz daha karmasik bir sey yapalim. Biyoloji yapiyoruz. Belirli bir bolgedeki bocek turunu inceleyecegiz. Oncelikle, bu bocek populasyonu uruyor. Ureme hizinin, bocek sayisiyla dogru orantili oldugunu dusunecegiz. Yani, bocek sayisi $B$ ise, her gun bir $r$ sabiti icin $rB$ yeni bocek (bocekcik) dunyaya geliyor. Bu arada her gun bolgeye 15 tane yeni bocek geliyor, 16 tanesini kus yiyor ve 7si dogal sebeplerle bu acimasiz hayata gozlerini yumuyor. Iki hafta sonra goruyorum ki bocek sayisi 3 katina cikmis. Ilk basta 100 bocek oldugunu bildigime gore, bu bocek populasyonunun akibeti ne olur? Birim zamanimizin bir gun oldugunu goz onune alirsak, bocek sayisinda birim zamandaki degisim $B' = (rB + 15) - (16 + 7) = rB - 8$. Simdi elimizde uc tane bilgi var: $B(0) = 100$, $B(14) = 300$ ve $B'(t) = rB(t) + 8$. Bu uc bilgiyi kullanarak $t$ cok buyuk olurken ne olur, bunu bulmak istiyoruz. $B'(t) = rB(t) + 8$ tarzi esitliklere diferansiyel denklem deniyor. $B(0)$ ve $B(14)$ de sinir degerleri. Ve aklinin alabilecegi her turlu doga olayinin matematiksel aciklamasinda bu tarz bir denklem karsina cikiyor. Bazen daha karmasik oluyor, birkac degiskene bagli oluyor. Ama dunyayi boyle acikliyoruz.
Asagidakilerin hepsini Google'a sorabilirsin.
Newton'un ikinci yasasi: Kuvvetin birim zamandaki momentum degisimine esit oldugunu soyluyor. $F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mV)}{dt} = \frac{m dV}{dt} = ma$. Airy denklemi: $\frac{d^2 y }{dx^2} = xy$ . Bu denklemin cozumu olan fonksiyon, optikte bircok cevap veriyor bize. Mesela, gokkusagini anlayabiliyoruz, aciklayabiliyoruz. Bu da senin dedigin gibi birilerinin kendilerince belirledigi bir fonksiyon. Ama oyle bosu bosuna degil. Gokkusagini anlamak icin. Google Images'da arattigin zaman bircok rengarenk sey goreceksin. Maxwell denklemleri elektromanyetigi acikliyor, Einstein'in alan denklemleri yercekimini, goreliligi acikliyor. Hamilton'un denklemleri, Newton sonrasinda klasik mekanigi aciklamak icin ortaya atilmisken, Schrodinger'in denklemi kuantum mekaniginin temellerinden. Dalga denklemi (wave equation) ses, isik, su dalgalarinin hareketlerini acikliyor: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$. Bu matematiksel aciklamalar sayesinde sen bana ses olmayan bir davul videosu gonderirsen, ben bilgisayar kullanarak o sesi yeniden yaratabilecegimi biliyorum. Isi denklemi (Heat Equation) $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$ isinin, sicakligin bir bolgedeki dagilimini acikliyor. Black-Scholes denklemi bize ekonominin nasil isledigini anlatirken, Navier-Stokes denklemleri bize akiskan seylerin dinamigini anlatiyor. Bu Navier-Stokes denklemleri sayesinde hava durumu tahmini yapabiliyor, okyanus dalgalarini analiz edebiliyoruz ya da bir sivinin bir boru icerisinde nasil ilerledigini, ucak hareket halindeyken havanin kanatlarini nasil etkiledigini anlayabiliyoruz ve buna gore malzeme uretebiliyoruz. Ustelik bu Navier-Stokes denklemlerinin ne zaman ve hangi sartlar altinda cozumunun oldugunu tamamen aciklayabilirsen aninda 1 milyon dolar sahibi oluyorsun.