Acemice yazmış olabilirim , kusura bakmayın :)
Çift katlı intagrallerde polar koordinat dönüşümü , kartezyen koordinat sistemi ile çözülmesi zor olan integralleri daha kolay çözmemize yardımcı olur. Polar koordinat sisteminde bildiğimiz gibi iki değişken vardır , bunlar; ${r}$(modül,uzunluk) ve ${\theta}$(argüment,açı). Buradan anlaşılacağı üzere ${r>0}$. Kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine geçerken ${F(x,y)}$ fonksiyonu için aşağıdaki işlemler yapılır.
$${x=r\cos(\theta)}$$
$${y=r\sin(\theta)}$$
Fonksiyonumuzu polar koordinatlara çevirdik.Şimdi integralle ilgilenelim.Fonksiyonu her birinin alanı ${dA}$ olan sonsuz eşit parçaya bölelim.
${dA}$ nın bir kenarının uzunluğu ${dr}$ , diğer kenarının uzunluğu ise ${rd\theta}$.Yani ${dA=rdrd\theta}$
${rd\theta}$ daki ${r}$ nin gelme amacı çemberin özelliğinden.Yarıçapı ${r}$ olan bir çemberde ${\alpha}$ açısının gördüğü yayın uzunluğu ${d_{yay}=r\alpha}$ olarak ifade edilebilir.
O halde integralimizi artık polar koordinat sistemi ile yazabiliriz.
$${\large \iint\limits_D F(x,y)dA=\iint\limits_I F(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) rdrd\theta}$$
Şimdi birkaç soru çözücem.Daha iyi anlaşılabilir.
$${\Large1.Soru}$$
${\large\iint\limits_D 2xydxdy=?}$ , ${D: [0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}}$ ${0\le x^2+y^2\le4}$
Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim.
$${\large\iint\limits_D 2r\sin(\theta)r\cos(\theta)rdrd\theta}$$
Sadeleştirelim ve sınır değişkenlerini yazalım.
$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 2r^3\sin(\theta)\cos(\theta)drd\theta}$$
$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 r^3\sin(2\theta)drd\theta}$$
İçerideki integrali hesaplayalım.
$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}} \huge[\large\frac{r^4}{4}\huge]_0^2\large\sin(2\theta)d\theta}$$
$${\large4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta) d\theta}$$
Diğer integrali çözelim.
$${\large 4\huge[\large-\dfrac{\cos(2\theta)}{2}\huge]_0^{\frac{\pi}{2}}\large=2}$$
olarak buluruz.
$${\Large 2.Soru}$$
${\large\iint\limits_D (4-x^2-y^2)dxdy=?}$ ${D: [0,2\pi]\to\mathbb{R}}$ ${2\le x^2+y^2\le4}$
Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim ve trigonometriden yararlanarak sadeleştirelim.
$${\large\iint\limits_D (4-(x^2+y^2))dxdy}$$
$${\large\iint\limits_D (4-((r\sin(\theta))^2+(r\cos(\theta))^2))rdrd\theta}$$
$${\large\iint\limits_D (4-r^2(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)))rdrd\theta}$$
$${\large\iint\limits_D (4r-r^3)drd\theta}$$
Sınır değişkenlerini yazalım
$${\large\int_0^{2\pi}\int_{\sqrt{2}}^2 (4r-r^3)drd\theta}$$
İçerideki integrali alalım.
$${\large\int_0^{2\pi} \huge[\large\frac{4r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\huge]_{\large\sqrt{2}}^2\large d\theta}$$
$${\large\int_0^{2\pi} d\theta}$$
Diğer integrali alalım.
$${\large[ \theta]_0^{2\pi} =2\pi}$$
olarak buluruz.