Question

$\frac1a+\frac1b=\frac1n$ ise sabit bir $n$ pozitif tam sayisi icin tum $(a,b)$ pozitif tamsayi ikililerin sayisi kactir?

Answer 1

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{n}$ olduğuna göre $ab-an-bn=0$ olur her iki tarafa $n^2$ eklersek $ab-an-bn+n^2=(a-n)(b-n)=n^2$ eşitliğini elde ederiz. $n^2$ sayısının pozitif tam bölenleri sayısınca $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilisi vardır.

Comments

Yani $\tau(n^2)$  denklemin pozitif çözümlerinin sayısını veriyor. Ayrıca,

$a-n=f_1$  ve $b-n=f_2$ dersek $f_1.f_2=n^2$ şartını sağlayan $a=n+f_1$ ve $b=n+f_2$ pozitif sayıları verilen denklemin bir çözümüdür.

Answer 2

$a.b-a.n-b.n=0$ burdan $(a-n).(b-n)=n^{2}$

$a-n=1,b-n=n^{2}$ ,$a-n=n,b-n=n$ $a-n=n^{2},b-n=n$ ,

$a-n=-1,b-n=-n^{2}$ ,$a-n=-n,b-n=-n$ $a-n=-n^{2},b-n=-n$  burada$ a=b=n=0$ olduğu drumlar hariç

Comments

$n$ sabit.           

---

Dikkat etmedim düzeltiyorum

Answer 3

Daha açık olarak $n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}$ ise $n^2=p_1^{2\alpha_1}.p_2^{2\alpha_2}...p_k^{2\alpha_k}$ olduğundan denklemin pozitif çözüm ikilisi sayısı $$(2\alpha_1+1).(2\alpha_2+1)...(2\alpha_k+1)$$ ile verilir. Tüm çözümlerin sayısı ise $$2[(2\alpha_1+1).(2\alpha_2+1)...(2\alpha_k+1)]-1$$ olur.

$a-n=-n$ ve $b-n=-n$ durumunda $(a,b)=(0,0)$ olacağından denklemi tanımsız yapan bu ikili çözümden çıkartılır.