$\int \frac{\text{log}^2(1-z)}{z}dz$=?

Question

Daha önce yazılan bir makalenin genelleştirilmiş halini bulmak istiyoruz. Sorunun bir yerinde bu integral ile karşılaştık. Özel bir ifade olduğunu zannediyoruz.

Comments

Ben böyle bir şey buldum :

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(3,-n\ln(1-z))}{n^3}$$

$\Gamma(s,x)$ tamamlanmamış gama fonksiyonu.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int\frac{\ln^2(1-z)}{z}\:dz$$

$ln(1-z)=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim. ve biraz sadeleştirelim.

$$-\int\frac{u^2}{e^{-u}-1}\:du$$

$-u=\omega$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$$\int\frac{\omega^2}{e^\omega-1}\:d\omega$$

$\frac{1}{e^\omega-1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.

$$\int\sum_{n=1}^\infty\:e^{-n\omega}\:\omega^2\:d\omega$$

Sonsuz toplam düzgün yakınsak olduğundan integral ile yerlerini değiştirelim.

$$\sum_{n=1}^\infty\int\:e^{-n\omega}\:\omega^2\:d\omega$$

$n\omega=\Omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\int\:e^\Omega\:\Omega^2\:d\Omega$$

İntegralin içindeki kısmı , tamamlanmamış gama fonksiyonunun kısmi türevi olarak yazabiliriz.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\int\underbrace{\:e^\Omega\:\Omega^2}_{\large-\frac{\partial}{\partial\:\Omega}\Gamma(3,\Omega)}\:d\Omega$$

İntegrali artık çözebiliriz.

$$-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\Gamma(3,\Omega)$$

Şimdi en baştan beri değiştirdiğimiz değişkenleri yerine yazalım.

$$\large\color{red}{\boxed{\int\frac{\ln^2(1-z)}{z}\:dz=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(3,-n\ln(1-z))}{n^3}}}$$

Umarım bir yanlış yoktur.

Comments

Eğer integral $0$ dan $1$ e olsaydı cevap $2\zeta(3)$ olurdu.

Bunu benim yazdığım cevaptan da bulabilirsiniz.