$i^i$ ifadesinin eşitini bulun.

Question

$$\large i^i$$ ifadesinin eşitini bulun.

Answer 1

$i^i=e^{i\frac\pi{2}\cdot i}=e^{-\pi/2}$.

Comments

Yukarida Dogan Donmez'in de dedigi gibi bu esas degeridir.

Answer 2

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$

Olduğunu biliyoruz.$x$ yerine $\ln(x)$ yazalım.

$$e^{i\ln(x)}=\cos(\ln(x))+i\sin(\ln(x))$$

$$x^{i}=\cos(\ln(x))+i\sin(\ln(x))$$

$x$ yerine $i$ koyalım.

$$i^{i}=\cos(\ln(i))+i\sin(\ln(i))$$

Sadeleştirelim.

$$i^{i}=\cos(\ln(\sqrt{-1}))+i\sin(\ln(\sqrt{-1}))$$

$$i^{i}=\cos\bigg(\frac{1}{2}\ln(-1)\bigg)+i\sin\bigg(\frac{1}{2}\ln(-1)\bigg)$$

$e^{i\pi}=-1$ olduğunu biliyoruz.Denklemdeki $-1$'lerin yerine bunu yazalım.

$$i^{i}=\cos\bigg(\frac{1}{2}\ln(e^{i\pi})\bigg)+i\sin\bigg(\frac{1}{2}\ln(e^{i\pi})\bigg)$$

$$i^{i}=\cos\bigg(\frac{i\pi}{2}\bigg)+i\sin\bigg(\frac{i\pi}{2}\bigg)$$

Sinüs ve kosinüsü hiperbolik olarak yazalım.

$$\large\color{red}{\boxed{i^{i}=\cosh\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)-\sinh\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)=e^{-\frac{\pi}{2}}\approx0.207879}}$$

Comments

$z,w\in\mathbb{C}$ için $z^w$ (hemen hemen her zaman) çok değerlidir. 

$z^w=e^{w\log z}$ olarak tanımlanır ve logaritma çok değerli olduğundan (hemen hemen her zaman) çok (sonsuz) değerlidir. Buna göre:

$i^i=e^{i\log i}=e^{i\cdot i (\frac\pi2+2n\pi)}=e^{-(\frac\pi2+2n\pi)}=e^{-\frac\pi2-2n\pi} \quad (n\in\mathbb{Z})$ olur. Sonsuz çoklukta farklı değer alır. $\log z$ in esas değeri kullanarak bulunan  değere $z^w$ nin esas değeri (principal value)  denir. Bu cevapta bulunan değer ($e^{-\frac\pi2}$),  $i^i$ nin esas değeridir.

---

Sayın Bertan, Doğal logaritma fonksiyonunun negatif sayılarda tanımsız olmasını $ln(-1)$'i  nereye koyuyoruz?

Doğan hocam  $z^w=e^{wlnz}$ olmalı değil mi?

---

Karmaşık sayılarda genellikle $\ln$ yerine $\log$ yazıyorlar.