$$\nabla^2u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$ Burada $u(x,y)=X(x)Y(y)$ şeklinde "değişkenlerin ayrışımı" yöntemini uygulayalım. Bunu Laplace denkleminde yerine koyarsak, $$X''Y+XY''=0$$ alırız. Burada "üsler", "o" değişkene göre türev demektir ($x$ veya $y$). Buna göre sınır şartlarını da düzenlememiz gerekiyor: $$u_x(0,y)=X'(0)Y(y)=0\Rightarrow X'(0)=0 \\ u_x(a,y)=X'(a)Y(y)=0\Rightarrow X'(a)=0 \\ u(x,0)=X(x)Y(0)=0\Rightarrow Y(0)=0 \\ u_x(x,b)=X'(x)Y(b)=g(x)$$
Aşikâr olmayan $u\equiv 0$ çözümü dışındaki çözümleri arıyoruz. Zira bu zaten bir çözümdür, aramaya gerek yok bu çözümü. $u\not \equiv 0$ olduğundan Laplace denklemini $XY$'ye bölebiliriz; bölelim: $$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0.$$ Bu denklemdeki iki toplam terimi ayrı ayrı $x$ ve $y$'nin fonksiyonlarıdır. Böyle iki fonksiyonun toplamı sâbit ise o hâlde iki terim ayrı ayrı sâbit olmalıdırlar. Bu sâbit bizde $0$'dır. O hâlde $\alpha$ keyfi bir sâbit olmak üzere, $$\begin{align} \frac{X''}{X}&=\alpha \\ \frac{Y''}{Y}&=-\alpha\end{align}$$ denklemleri elde edilir.
Bizim problemimize uygun olarak $\alpha=-k^2<0 $ alalım. Bu durumda $$\begin{align} \frac{X''}{X}&=-k^2 \\ \frac{Y''}{Y}&=k^2\end{align}$$ denklemleri alınır ki çözümleri kolaydır: $$\begin{align}X(x)&=Ae^{+ikx}+Be^{-ikx}\\ Y(y)&=Ce^{+ky}+De^{-ky} \end{align}$$ Şimdi sınır koşullarını çalıştıralım: $$X'(x)=ik\left[Ae^{+ikx}-Be^{-ikx}\right]\Rightarrow A-B=0 \\ ik\left[Ae^{+ika}-Be^{-ika}\right]=0$$ $A=B$ kullanılırsa, $$\sin ka=0$$ bulunur. Bu ise $$ka=n\pi, \hspace{20px} n\in \mathbb Z$$ anlamına gelir. Böylece $X$ bulundu: $$X_n(x)=2A\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)$$ Diğerine dönelim: $C=-D$ olduğu görülür:$$Y_n(y)=2C\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$ Bunların çarpımından $$u_n(x,y)=A_n\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$ elde edilir. Her $n$ için $u_n$ bir çözüm olduğundan bunların lineer bileşimi de bir çözümdür. Böylece $u$ fonksiyonu $$u(x,y)=\sum_n a_n u_n$$ şeklinde yazılır. Son hamlede $a_n$ katsayılarını bulacağız. Bunun için son sınır şartını kullanacağız. $$u_x(x,b)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)=g(x)$$ eşitliği elde edilir. $g(x)$ verilmiş bir fonksiyondur. Sol taraftaki toplam ise bildiğimiz, "sinüs açılımı"dır. Bu toplamdan $a_n$'yi çekmek için elde ettiğimiz son ifâdeyi $m$ indisli $\sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right)$ fonksiyonuyla çarpıp $[0,a]$ arasında integre edersek ve $\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)$'in dik bir dizi oluşturduğunu hatırlarsak $$-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\frac{2}{a}\int_0^a\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{2}{a}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\\-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\delta_{nm}=-a_m \frac{m\pi}{a}\sinh \left(\frac{m\pi b}{a}\right)\\ \Rightarrow a_m=\frac{2}{m\pi \sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx$$ şeklinde bulunur. Problem çözülmüştür.