Her $\epsilon > 0$ icin $a \leq b+\epsilon$ ise $a \leq b$ oldugunu gosteriniz.

Question

$a,b$ gercel sayilar olmak uzere: her $\epsilon > 0$ icin $a \leq b+\epsilon$ ise $a \leq b$ oldugunu gosteriniz. 

Comments

Hangi küme üzerinde soruluyor bu soru? rasyoneller kümesi mi, tam sayılar kümesi mi vs. ?

---

Reel sayilar diyelim.

Answer 1

$$(\epsilon >0)(a\leq b+\epsilon)\Rightarrow a\leq b\ldots (\star)$$

önermesinin doğru olduğunu göstereceğiz.

$\epsilon >0$ ve $a\leq b+\epsilon$ olsun ve $a>b$ olduğunu varsayalım.

$$a>b\Rightarrow a-b>0 \Rightarrow \epsilon_0:=\frac{a-b}{2}>0$$ olur. Şimdi de hipotezi kullanalım. 

$$a\leq b+\epsilon_0=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}\Rightarrow 2a\leq a+b\Rightarrow a\leq b$$ olur. Bu ise varsayımımız ile çelişir. O halde varsayımımız yanlış yani $(\star)$ önermesi doğrudur.