$a_1c_1-{b_1}^2\geq 0$ ve $a_2c_2-{b_2}^2\geq 0$ ise, o zaman $(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2\geq 0$ olur.
---
Nesin Matematik Köyü'nde yapılan 'The Gamma Function' isimli dersin içinden küçük bir alıntı.
Sondaki ifadeyi açarak bir sonuç elde edilemiyor kanımca. Biz ikinci dereceden formları (quadratic form) kullanarak bir çözüm getirdik.
Ben Cauchy-Schwarz kokusu alıyorum. Bir ara zamanım olunca düşüneyim. Kesin yapamam ama yine Cauchy-Schwarz'a inanıyorum.
zamaniniz olunca bi benimkini kontrol etsenize.
$(a_1c_2)(a_2c_1)\geq(b_1b_2)^2\geq0$. Simdi $a_1c_2,a_2c_1 \geq 0$ diyelim: Carpimi sabit pozitif islemlerin toplamini kucultmek icin yakin tutmamim lazim, yani $a_1c_2+a_2c_1\geq 2b_1b_2$. Bu da bize cevabi veriyor.Verilen ifade: $(a_1c_1-b_1^2)+(a_2c_2-b_2^2)+(a_1c_2+a_2c_1-2b_1b_2) \geq 0+0+0=0$.
$(a_1+a_2)(c_1+c_2)\geq2(a_1c_1+a_2c_2)$ chebishev ile, eşitliğin sağ tarafının (b_1+b_2)^2 büyük olduğu açık
Ben bizim kullandığımız hoş çözümden bahsedeyim. $a_1>0$ olduğunu varsayabiliriz. $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2$$ ifadesi ikinci derecen (quadratic) bir form. $$a_1(a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2)=(a_1x+b_2y)^2+(a_1c_1-b_1^2)y^2$$ ifadesi her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük, varsayım gereği tabii ki. $a_1>0$ olduğundan $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2>0$$ eşitsizliğini elde ederiz. Aynı yöntemle $$a_2x^2+2b_2xy+c_2y^2>0$$ olduğunu da gösterebiliriz, demek ki $$(a_1+a_2)x^2+2(b_1+b_2)xy+(c_1+c_2)y^2>0.$$ Diğer yandan bu da ikinci dereceden bir form ve her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük. Demek ki bu formun diskriminantı pozitif olamaz! Yani $$4(b_1+b_2)^2-4(a_1+a_2)(c_1+c_2)\leq 0,$$ demek ki $$(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2 \geq 0.$$