Lagrange çarpanı genel olarak bir $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ göndermesinin uç noktalarını -$g:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\vec{x}\mapsto g(\vec{x})$ olmak üzere- bir $g(\vec{x})=0$ (*) yan şartı gözetilerek bulmaya yarar.
Temelinin geometriye dayandığını şöyle görebiliriz:
$A=\mathbb{R}^{2}$ olsun.
1- Eğer bir yan şart verilmemişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarını; herhangi bir $x_\text{0}$ noktasından başlayıp hep $f$'nin eğiminin en fazla olduğu yönde -yani $\vec{\nabla}f$ yönünde- ta ki $\Vert \vec{\nabla}f\Vert=0$ oluncaya dek ilerleyerek bulabiliriz (,bu son nokta bir uç nokta, ayrıca şekile bkz.).
2- Eğer bir $g(x,y)=0$ yan şartı verilmişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarına 1'dekine ek olarak sadece $g=0$ çizgisi doğrultusunda ya da ona paralel gitmek şartıyla ulaşabiliriz. Bu da $\vec{\nabla}g$'ye dik istikamette gitmek demektir, çünkü her $s\in\mathbb{R}$ için $\forall x_1\in \{(x,y)\in\mathbb{R}: g(x,y)=s\} :\vec{x}_1:=x_1x_0\perp\vec{\nabla}g[x,y] $'dir. $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_{\perp}f+\vec{\nabla}_{\parallel}f$ $\vec{\nabla}g$'ye dik ve paralel diye ayırırsak, bir uç nokta $\vec{\nabla}_{\perp}f=0$ olduğunda bulunmuş olur. Ama o halde $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_\parallel f \rightarrow \vec{\nabla}f\parallel\vec{\nabla}g\rightarrow\vec{\nabla}f=\lambda\vec{\nabla}g , \lambda\in\mathbb{R}$(**) (=Lagrange çarpanı) olur.
Tanım (Lagrange çarpanı yöntemi):$F:\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},(\vec{x},\lambda)\mapsto F(\vec{x},\lambda):=f(\vec{x})-\lambda g(\vec{x})$ göndermesini tanımlayalım. $f$ için $g(\vec{x})=0$ yan şartlı uç noktalarında
$\vec{\nabla}F(\vec{x},\lambda)=\vec{0}$ ($\equiv$(*)) ve $\frac{\partial}{\partial \lambda}F(\vec{x},\lambda)=0$($\equiv$(**)) denklemlerinin sağlaması gerekir (...yöntem bunları çözmekten ibaret).