$\int_{-\infty}^\infty\:\frac{\cos(ax^2)-\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_{-\infty}^\infty\:\frac{\cos(ax^2)-\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx\:\:\:,\:\:\:a\geq0\:\:\:\:a\in\mathbb{R}$$

İntegralini çözün

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_{-\infty}^\infty\:\frac{\cos(ax^2)-\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx$$

İntegrali bir fonksiyon olarak yazalım.

$$\Omega(a)=\int_{-\infty}^\infty\:\frac{\cos(ax^2)-\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx$$

Omega fonksiyonunun $1.$ ve $2.$ türevlerini alalım.

$$\frac{d}{da}\:\Omega(a)=\int_{-\infty}^\infty\:\frac{-x^2\sin(ax^2)-x^2\cos(ax^2)}{1+x^4}\:dx$$

$$\frac{d^2}{da^2}\:\Omega(a)=\int_{-\infty}^\infty\:\frac{-x^4\cos(ax^2)+x^4\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx$$

Omega fonksiyonunu , 2. türevinden çıkaralım.

$$\Omega(a)-\frac{d^2}{da^2}\:\Omega(a)=\int_{-\infty}^\infty\:\cos(ax^2)-\sin(ax^2)\:dx$$

Bu integralin değeri $0$ dır.Ayrıntılı bilgi için "Fresnel integrali" olarak araştırılabilir.

$$\Omega(a)-\frac{d^2}{da^2}\:\Omega(a)=0$$

$\Omega(a)$ için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$$\Omega(a)=e^{u}\:c\\\Omega(0)=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$

Buradan Omega fonksiyonunu bulabiliriz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_{-\infty}^\infty\:\frac{\cos(ax^2)-\sin(ax^2)}{1+x^4}\:dx=\frac{\pi\big(e^{a}+e^{-a}\big)}{\sqrt{2}}\:\:,\:\:a\geq0}}$$

Comments

neden genel çözümü yazmadık, diferansiyel denklem için? 

---

Şimdi oldu galiba ?

---

aslında sanırım bir değerine daha ihtiyacımız  var omega fonksiyonunun, çünkü $c_1.e^a+c_2e^{-a}$ şeklindedir genel çözümü denklemin, iki bilinmeyen. 

---

$\Omega(0)=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$  eşitliği var.Buradan $c_1$ ve $c_2$ nin $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ olduğu çıkmazmı ?

---

$c_1+c_2=\pi/2$ elde edebiliriz sadece oradan. gerçi bilmiyorum bu şekilde hiç çözümedim, çözüm de görmedim, belki başka bir numara vardır