$n>1$ sayisi $2^n-1$ sayisini tam bolebilir mi?

Question

$n>1$ tam sayi olsun. $n$ sayisi $2^n-1$ sayisini tam bolebilir mi? 

Comments

Sorunun "tam bölebilir mi ?" olması gerekmez mi ?

---

Bilmem. Bolup de kalani da olabilir sonucta da. Bolmek olarak kullanilir gibi, ingilizcede de "$a|b$: $a$ divides $b$". 

Answer 1

Daha elementer bir cozumu de olabilir:

$n$ sayisinin $2^n-1$'i boldugunu kabul edelim. ilk olarak $n$ tek bir sayi olmali. $p$ bu tek $n$ sayisinin en kucuk asal boleni olsun. 

Elimizde olanlar:

1) $2^{p-1}\equiv 1\mod p$ olacagindan $p\mid 2^{p-1}-1$,
2) Ayni zamanda $p\mid 2^n-1$ oldugundan $p\mid2^{(p-1,n)-1}$,
3) $p$ asali $n$ sayisinin en kucuk boleni oldogundan $(p-1,n)=1$ olmak durumunda.

Simdi 2 ve 3'ten dolayi $p\mid2^1-1=1$, celiski.

Ek olarak: 1'deki sonuc lisede de kullanilan bir yontem, asal sayinin bir eksik kuvvetni alirsak asal mod'da kalan $1$ olur. Sayilar teorisinin sonucu bu, ayni zaman da $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ grubun mertebesinden de elde edilebilecek basit bir sonuc. Cisim olarak dusundugumuzde daha basit hal bile alabilir.

Ek olarak: $4\mid3^4-1$ yani bunu her sayiya genellestiremeyiz.

Comments

Ayrica bu yontemle genelestirme icin hangi tarz $n$'lerin bolemeyecegini bulabiliriz.