İntegralimiz :
$$\Xi_1(n,2)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx$$
Logaritmik integraller ile ilgili aşağıdaki eşitik yazılabilir.
$$\Xi_1(n,m)=\Xi(n,m)+\Xi_2(n,m)$$
$$\underbrace{\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi_1(n,2)}=\underbrace{\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi(n,2)}+\underbrace{\int_1^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx}_{\Xi_2(n,2)}$$
Sağdaki integrallerin ispatları için buraya ve buraya bakabilirsiniz.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\Xi_1(n,2)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx=\big(1+(-1)^n)\Gamma(n+1)\beta(n+1)}}$$