Siklotomik polinomlar hakkında

Question

$\alpha$ karmaşık sayısı için, $\alpha^n=1$ koşulu sağlanıyorsa ve $n$'den küçük tüm pozitif $m$ değerleri için $\alpha^m=1$ eşitliği sağlanmıyorsa bu durumda $\alpha$ sayısına birin n-inci ilkel bir kökü (a primitive n-th root of unity) denir. Dahası, n-inci siklotomik polinom (n-th cyclotomic polynomial) $$\Phi_n(x)=\prod (x-\alpha)$$ olarak tanımlanır, buradaki çarpım birin tüm n-inci ilkel kökler üzerinden alınıyor. Gösteriniz ki,

1) $\displaystyle\prod_{d|n} \Phi_d(x)=x^n-1$ eşitliği sağlanır ve

2) $n$'den küçük ve $n$'yi bölen tüm $d$ değerleri için, $\Phi_n(x)$ polinomu $\displaystyle\frac{x^n-1}{x^d-1}$ ifadesini böler.

Answer 1

1) Eger $\zeta$ birin $n$-inci ilkel koku ise $\zeta^s$ de birin herhangi bir kokudur, hatta  birin $d=n/(n,s)$-inci ilkel kokudur.

Artik $$x^n-1=\prod\limits_{s=1}^n(x-\zeta^s)=\prod\limits_{d|n}\Phi(d)$$ esitligini yazabiliriz. Ikinci esitlik ilk anlatilanlarin sonucu.

2) Eger $d|n$ ise $d$'nin dolenleri $n$'nin bolenlerinin icindedir. $1$'den dolayi $x^d-1$ polinomu $x^n-1$ polinomunun bir carpani olur.