Question

Topolojik grup nedir?

Comments

bunlar tek tanimlik uniteler degildir umarim :)

---

:) Uyarınızı  dikkate aldım. Kaldığım yerden devam ediyorum.

Answer 1

$G$ bir grup olsun ve $\tau$ topolojisi bu grup (kume) uzerinde bir topoloji olsun. Eger grup operasyonu $G\times G$'den $G$'ye ve ters operasyonu $G$'den $G$'ye surekli fonksiyonlar ise $G$ (grubu $\tau$ altinda) topolojik bir gruptur.

Yani (grubu carpimsal yazarsak) $f(ab)=ab$ ve $g(a)=a^{-1}$ fonsiyonlarinin verilen topoloji altinda surekli olmasi isteniyor.

Comments

Burada eklemek istediğim birşey var: ters operasyonu $G\times G$ den $G$ ye olmuyor; $G$ den $G$ ye oluyor.

---

Evet.            

---

Topolojik grup tek ($G$ hem bir grup hem de bir topolojik uzay olmak üzere) bir koşul ile de tanımlanabilir:

$G\times G\to G,\ (g,h)\mapsto gh^{-1}$ 

($G\times G$ de çarpım topolojisi kullanıldığında) süreklidir.

Soru: Bu iki tanımın eşdeğer olduğunu gösterin.

Answer 2

Ben de tanımı biçimsel olarak vereyim:

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $(X,\star)$ grup olmak üzere

$$(X,\tau,\star), \text{ topolojik grup}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$\left [f:X^2\rightarrow X,\,\ f(x,y)=x\star y\,\ (\tau^2\text{-}\tau) \text{ sürekli}\right ]\left [g:X\rightarrow X,\,\ g(x)=x^{-1} \,\ (\tau\text{-}\tau) \text{ sürekli}\right ]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$h:X^2\rightarrow X,\,\ h(x,y)=x\star y^{-1}\,\ (\tau^2\text{-}\tau) \text{ sürekli}$$

Burada $$\mathcal{B}=\{U\times V\big{|} U,V\in \tau\}$$ olmak üzere $$\tau^2=\langle \mathcal{B}\rangle =\{\cup \mathcal{B}^*\big{|}\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B}\}$$ yani çarpım topolojisini ifade etmektedir.