$\lfloor(1+\sqrt{2})^{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{3})^{\sqrt{3}}+(1+2)^{2}\rfloor=?$ ($\lfloor\ \rfloor$ tam değer)

Question

$(1+\sqrt{2})^{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{3})^{\sqrt{3}}+(1+2)^{2}$ toplamı birbirine en yakın hangi iki tamsayı arasındadır ?

Answer 1

Soeuya şu şekilde yaklaşmanın bir yararı olabilir.
$\sqrt{2}$=1,4
$\sqrt{3}$=1,7 yakınsak sayılardır bu sayıları bir tam sayıya yuvarlayıp işlemleri çözersek max ve mini buluruz sanırım.
İlk olarak.$\sqrt{2}$=1 ve $\sqrt{3}$=1 alalım o zaman ifade.
2+2+9 şeklinde olur.
Birde .$\sqrt{2}$=2 ve $\sqrt{3}$=2 şeklinde alırsak.
9+9+9 olur o zaman aralık.
13<A<27 olur.

Comments

Bu aralıktan daha kuvvetli  bir aralık yok mu yani ?

---

Tam sayı olarak yok soruda tam sayı aralığını soruyor zaten.

---

Hmm 14 ten de büyükse mesela ?

Answer 2

$1<\sqrt2<2$ olduğundan $(1+\sqrt2)^1<(1+\sqrt2)^{\sqrt2}<(1+\sqrt2)^2$  dır.

Ayrıca $[|\sqrt2|]=1$ olduğundan, $[|\sqrt2+1|]=2$ ve  $1<[|(1+\sqrt2)^{\sqrt2}|]<4$ (*)olur. Benzer yolla:

$1<\sqrt3<2$ olduğundan $(1+\sqrt3)^1<(1+\sqrt3)^{\sqrt3}<(1+\sqrt3)^2$  dır.  $[|\sqrt3|]=1$ olduğundan, $[|\sqrt3+1|]=2$ ve  $1<[|(1+\sqrt3)^{\sqrt3}|]<4$ (**)olur.  (*) ile (**) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa; 

$1<[|(1+\sqrt2)^{\sqrt2}|]<4+1<[|(1+\sqrt3)^{\sqrt3}|<4+9]$ toplamı $(2,8)$ aralığında olacak ve son olarak $11<[|(1+\sqrt2)^{\sqrt2}|]+[|(1+\sqrt3)^{\sqrt3}|]+9<17$ olacaktır.

Comments

Hmm guzel yönem