Başı:Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek
Sav: $f\in L^2(\mathbb{R}^3)$ , $f_j:=\langle f e_j^{(1)},f e_j^{(2)}\rangle\in\mathcal{H_{ph}}$, $\vec{k}\in M_0$ ve $j,l=1,2,3$ için $\sum_{r=1}^2 e_j^{(j)}(\vec{k})e_l^{(j)}(\vec{k})$'i incelersek $\Vert f_j\Vert^2=\int_{\mathbb{R}^3}\vert f(\vec{k})\vert^2 \left( 1-\frac{k_j^2}{\vert\vec{k}\vert^2}\right)d\vec{k}$. Buna göre doğal olarak tanımlanan $\vert\vert\vert f\vert\vert\vert:=\displaystyle\sum_{j=1}^3\vert\vert f_j\vert\vert$ bir normdur.
Sav: Koşul 1'in sağlandığını kabul edelim. O zaman $\text{böl}(H_{ış}^{1/2})\subset\text{böl}(H_{etk,\tau}(g))$ ve $\forall\psi\in \text{böl}(H_{ış}^{1/2})$ ve $\epsilon>0$ için $\vert\vert H_{etk,\tau}(g)\psi\vert\vert\leq\sqrt{2(1+\epsilon)}\vert q\vert\ \vert\vert\vert\frac{g}{\sqrt{\omega}}\vert\vert\vert \Vert H_{ış}^{1/2}\psi\Vert+\frac{\vert q\vert}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{1}{\epsilon}} \vert\vert\vert g\vert\vert\vert \ \Vert\psi\Vert$'dir.
İpucu 1: $\forall F\in \mathcal{H}_{ft}$ ve $\psi\in\text{böl}(H_{ış}^{1/2})$ için $\psi\in\text{böl}(a(F))\cap \text{böl}(a(F)^{*})$ ve $\Vert a(F)\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert$ ve $\Vert a(F)^*\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert+\Vert F\Vert \Vert\psi\Vert$
İpucu 2: $a,b\geq0,\epsilon>0$ için $(a+b)^2\leq(1+\epsilon)a^2+\left(1+\frac{1}{\epsilon}\right)b^2$.
Ek alıştırma: İpuçlarını gösterin.
Sav(simetri): $\tau\in\mathbb{R}$, koşul 1 ve 2 geçerli olsun. O zaman $H_{\tau}(V,g)$ $\text{böl}(H_{\tau}(V,g)):=\text{böl}(H_D)\cap\text{böl}(V)\cap\text{böl}(H_{ış})$ ile simetrik bir işlemcidir.
Soru: Bunu gösterebilirmisiniz?
Tanım: Bir Hilbert uzayındaki ters doğrusal, norm koruyucu ve $C^2=1\!\!1$ olan $C$ göndermesine eşlenti (ing. conjugation) denir.
Sav 1.1: $C$ $\mathcal{H}$ üzerinde bir eşlenti ve $S$ de aynı Hilbert uzayında $CS\subset CS$'yi sağlayan doğrusal bir işlemci olsun. O zaman $CS=SC$'dir.
Sav: Eğer $P$ $\mathcal{H}_D$ üzerinde eşlik dönüşümüyse -yani $f\in\mathcal{H}_D$- için $(Pf)(\vec{x}):=f(-\vec{x})$, $\mathcal{H}_D$ üzerinde $T_D:=PU_C C_D$ ters üniter bir işlemci tanımlar ve bu bir eşlentidir.
Sav 1.2: $T_D\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})=\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})T_D$.
Sav 1.3: $C_{ft}$ $\mathcal{H}_{ft}$ üzerindeki karmaşık eşlenti $C_{ft}(F_1,F_2):=(\bar{F_1},\bar{F_2})\in\mathcal{H}_{ft},\ F_r\in L^2(\mathbb{R}^3),\ r=1,2$ ve $j_{\mathbb{C}}$ de $\mathbb{C}$ üzerindeki eşlenti olsun. O zaman $J_{ış}:=j_{\mathbb{C}}\oplus(\bigoplus_{n=1}^\infty \bigotimes^n C_{ft})$ $\mathcal{F}_{ış}$ üzerindeki bir eşleniktir.
Sav 1.4: $J_{ış}H_{ış}=H_{ış}J_{ış}$ ve $\forall F\in\mathcal{H}_{ft}:\ J_{ış}\Psi_S(C_{ft}F)=\Psi_S(F)J_{ış}$.
İpucu: İlk eşitlik için $\omega\in\mathbb{R}$. İkincisi için eşitliği önce sonlu parçacık vektörleri altuzayı $\mathcal{F}_{ış,0}:=\{\psi=\{\psi^{(n)}\}_{n=0}^\infty \in\mathcal{F}_{ış}\vert \text{sonlu sayılılar dışındaki bütün n'ler için }\psi^{(n)}=0\}$'da gösterin, bunu sınır alan $\psi_S(F)$'e çevirin ve sav 1.1'i uygulayın.
Sonunda teoremimizi kanıtlayacak kadar bilgi toplayabildik:
Teorem: $\tau\in\mathbb{R}$, $g$ gerçel değerli olduğu, 1. ve 2. koşullar sağlandığı takdirde modelin Hamiltonyen işlemcisi $H_{\tau}(V,g)$'nin bir özeşlenik uzantısı vardır. İpucu: $\mathcal{F}$ üzerinde $J:=T_D\otimes J_{ış}$'ye bakın. von Neumann teoremi ve ondan sonra çok önemli başka bir teoremi kullanın.