Question

$A=\{0,1,a\}$ bir tamlık bölgesi olmak üzere kar(A) nedir?

kar(A)= karakteristlik

Answer 1

Her seyden once, $A$'nin altinda yatan bir grup yapisi var. Eger $A$'nin $3$ tane elemani varsa o zaman bu grup yapisinin ne olacagi belli: $3$ elemanli tek bir grup vardir (izomorfizma alitindaki denklikleri saymazsak!). Bu grup nedir? 

$1 + 1 + 1 = 0$ ama $1 + 1 \neq 0$. Yani karakteristik $3$.

Comments

Tam olarak anlamadım.Bu tamlık bölgesi olmasından mı kaynaklanıyor? Mesela A 100 elemanlı olsaydı o zaman da 100 mü olurdu. Yatan grup yapısı teriminin ingilizce karsılıgını yazar mısınız

---

yatan Turkce, grup yapisi: grup structure. $|A|=3$ ve $3$ elemanli toplamaya gore bir adet grup var o da devirli (cyclic) olan grup. Mesela $4$ elemali icin Klein-4-grubu var. ($\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ olabilirdi halkamiz), yani karakteristik iki de olabilirdi. Bunu $100$'e de uyarlayabilirsin.

---

Zaten tamlik bolgesi olmasi bize yalnizca tek bir bilgi veriyor. Carpim tablosundaki 9 kucuk karecikten bilmedigimiz tek bir kare var: O da $a^2$. Bu bilgi ise karakteristigi degistirmiyor.

Halka dedigimiz sey icin uc sey gerekli: Bir kume, bir toplama islemi ve bir carpma islemi. Sonra bunun uzerine aksiyomlar koyuyorsun ku bu islemler guzel olsun. Carpma islemini tamamen unutursak, elimizde sadece bir kume ve bu kumenin uzerinde bir toplama islemi kaliyor. Halkanin altinda yatan gruptan kastim bu yapi. Istersen bu yapiyi da unutup halkanin altinda yatan kumeden de bahsedebilirsin. Ingilizce de "altinda yatan"a karsilik "underlying", unutmayi da biraz kategori teorisi biliyorsan "forgetful functor" ile bagdastirabilirsin. 

Simdi, bizim sorumuzda 3 elemanli bir halka var. Bu halkada bir toplama yapisi, ve bu yapiyla uyumlu olarak bir carpimsal yapi var. Carpimsal yapiyi bir an icin unutalim. Elimizde kalan grup 3 elemanli bir grup. Ve 3 elemanli tek bir grup var. 100 elemanli (abelyen) gruplarin sayisi 4. Burada daha degisik seyler olablir, degisik carpmalar tanimlanabilir.

Sercan yazmis bile.

---

hocam teşekkürler. konuyla alakasız olacak ama 100 elemanlı abel grup sayısını nasıl buluyorduk. Z_2xZ_2xZ_25,  Z_2xZ_2xZ_5xZ_5, Z_4xZ_5xZ_5, Z_4xZ_25 şeklinde mi

---

$100=2^25^2$ seklide yazip $2$'nin parcalanisini inceleyeceksin (kuvvetlerin). Sonucta dediklerine denk geliyor.

$n=p_1^{e_1}\cdots p_t^{e_t}$ icin genellestirmesi nasil olur sence? 

---

bunun bi formulü yok galiba mesela $p^8q^9$ oldugunda 8 ile 9 un parçalanışlarını veren, tek tek yazmak mı gerek 1+7, 1+1+6 ...vs diye. 

Bir de hocam $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ örnegini vermiştiniz. Mesela A 12 elemanlı olsayı $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times Z_3$ veya  $\Bbb Z_4\times Z_3$ yapabilirdik. burada hangi karakteristiligi almamız gerekirdi 6 yı mı 12 yi mi

edit:  wikisinde bi kaç tane varmış da karışık geldi   $\ddot\smile$ https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

Gerçi benim ilgilendiğim kadarı öabt matematigi, fazla derinine girmek de istemiyorum.

---

ilki icin $6$, ikincisi icin $12$. 

---

O zaman A kümesi 12 elemanlı olsaydı kar(A) yoktur mu deriz. Aslında chat olayı olsa fena olmazdı SE deki gibi :)

---

var, fakat (en az) iki olasilik var, $6$ ya da $12$. Neden en az? Cunku $12$ elemanli halkalarin yapisi bu iki sekil disinda da olabilir. 

Answer 2

$A$ Sonlu tamlık bölgesi olduğundan cisim ve $A\cong \Bbb{Z}_3$ şeklindedir. Genel durumda $\Bbb{Z}_n$ halkasının karakteristiği $n$. Ve $karA=3$ elde edilir.